几何证明好方法——截长补短.doc

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几何证明的好方法——截长补短
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几何证明的好方法——截长补短
几何证明的好方法——截长补短
有一类几何题其命题主若是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比率关系。这一类题目
一般可以采纳“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使此中的一条线段与已知线段相等,而后证明此中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”,就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相
等。而后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。有的是采纳截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解。
截长法:
(1)过某一点作长边的垂线
(2)在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法
(1)延长短边。
(2)经过旋转等方式使两短边拼合到一起。
几种截长补短解题法种类
我们大体可把截长补短分为下边几各种类;
种类①a±b=c
种类②a±b=kc
种类③
种类④c2=a·b
关于种类①,可采纳直接截长或补短,绕后进行证明。也许化为种类②证明。
关于②,可以将a±b与c成立在一个三角形中,而后证明这个三角形为特别三角形,如
等边三角形,等腰直角三角形,或一个角为30°的直角三角形等。
关于种类③,一般将截长或补短后的a±b与c成立在一个三角形中,与种类②相同。其实是求种类②中的k值。
关于种类④,将c2=a·b化为=的形式,而后经过相似三角形的比率关系进行证明。在证明相似三角形的过程中,可能会用到截长或补短的方法。
例:
在正方形ABCD中,DE=DF,DGCE,交CA于G,GHAF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG,GH,CH的数目关系
方法一(好想不好证)
方法二(好证不好想)
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例题不详解。
(第2页题目答案见第3、4页)
1)正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAF=45。求证:EF=DE+BF
1)变形a
正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,EAF=45。
请问此刻EF、DE、BF又有什么数目关系?
(1)变形b
正方形ABCD中,点E在DC延长线上,点F在CB延长线上,EAF=45。
请问此刻EF、DE、BF又有什么数目关系?
(1)变形c
正三角形ABC中,E在AB上,F在AC上EDF=45。DB=DC,BDC=120。请问此刻EF、BE、CF又有什么数目关系?
(1)变形d
正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAD=15,FAB=30。AD=
求AEF的面积
(1)解:(简单思路)
延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。
由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
因此ADGABF(SAS)
GAD=FAB
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AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAF+FAB
=DAF+GAD=GAF
因此GAE=GAF-EAF
=90-45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
因此EAGEAF(SAS)
EF=GE=GD+DE=BF+DE
变形a解:(简单思路)
EF=BF-DE
在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得
ADE=ABG=90
AD=AB
又DE=BG
因此ADEABG(SAS)
EAD=GAB
AE=AG
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAG+GAB
=DAG+EAD=GAE
因此GAF=GAE-EAF
=90-45=45
GAF=EAF=45
又AG=AE
AF=AF
因此EAFGAF(SAS)
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形b解:(简单思路)
EF=DE-BF
在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
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因此ADGABF(SAS)
GAD=FAB
AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90=DAG+GAB
=BAF+GAB=GAF
因此GAE=GAF-EAF
=90-45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
因此EAGEAF(SAS)
EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形c解:(简单思路)
EF=BE+FC
延长AC到点G,使得CG=BE,连接DG。
由ABC是正三角形得
ABC=ACB=60
又DB=DC,BDC=120
因此DBC=DCB=30
DBE=ABC+DBC=60+30=90
ACD=ACB+DCB=60+30=90
因此GCD=180-ACD=90
DBE=DCG=90
又DB=DC,BE=CG
因此DBEDCG(SAS)
EDB=GDC
DE=DG
又DBC=120=EDB+EDC
=GDC+EDC=EDG
因此GDF=EDG-EDF
=120-60=60
GDF=EDF=60
又DG=DE
DF=DF
因此GDFEDF(SAS)
EF=GF=CG+FC=BE+FC
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变形d解:(简单思路)
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延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。
(1)所证,
ADGABF,EAGEAF
GAD=FAB=30,SEAG=SEAF
在RtADG中,GAD=30,AD=
AGD=60,AG=2
设EH=x
在RtEGH中和RtEHA中
AGD=60,HAE=45
HG=x,AH=x
AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-
SEAF=SEAG=EHAG2=3-.
(第5页题目答案见第6页)
2)
正方形ABCD中,对角线AC与BD交于O,点E在BD上,AE均分DAC。
求证:AC/2=AD-EO
(2)增强版
正方形ABCD中,M在CD上,N在DA延长线上,CM=AN,点E在BD上,NE均分DNM。请问MN、AD、EF有什么数目关系?
(2)解:(简单思路)
过E作EGAD于G
由于四边形ABCD是正方形
ADC=90,BD均分ADC,ACBD
因此ADB=ADC/2=45
由于AE均分DAC,EOAC,EGAD
因此EAO=EAG,
DGE=AOE=AGE=90又AE=AE,
因此AEOAEG(AAS)
因此AG=AO,EO=EG
又ADB=45,DGE=90
因此DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
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(2)增强版解:(简单思路)
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MN/2=AD-EF
过E作EGAD于G,作EQAB于Q,过B做BPMN于P
依据(2)的解法,可求证,
GNEFNE(AAS)
DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD-EF,
由于四边形ABCD为正方形,
ABC=GAQ=BCM=90
BD均分ABC,BC=BA
ABD=ABC/2=45,又EQB=90
EQB为等腰Rt三角形,BEQ=45
由于GAQ=EGA=EQA=90
因此四边形AGEQ为矩形,
EQ=AG=AD-EF,EQ//AG
QEN=ENG
又ENG=ENF,因此QEN=ENF
由BC=BA,BCM=BAN=90,CM=AN,因此BCMBAN(SAS)
BM=BN,CBM=ABN
ABC=90=ABM+CBM
=ABM+ABN=MBN,又BM=BN
因此MBN为等腰Rt三角形,
又BP斜边MN于P,
因此NPB为等腰Rt三角形。
BP=MN/2,PNB=45。
BNE=ENF+PNB
BEN=QEN+QEB
又QEN=ENF,PNB=QEB=45
因此BNE=BEN
BN=BE,
又PNB=QEB=45=NBP=EBQ
因此BEQBNP(SAS)
EQ=BP
由于EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2
因此AD-EF=MN/2。
综合题体中的截长补短
1、如图,在⊙O中,C是的中点,直线CD⊥AB于点E,AB=BE,PB、PA构成的⊙O的一条折弦,C是劣弧的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB,请证明你的结论。
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解析:本题要证明AE=PE+PB,可以将AE分为两段,使此中一段长度等于PE,而后另一
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段长度关于PB。反之亦。证明△AHC≌△BPC。而后再证明PB=PE,那么AE=
PE+PB。
证明:在AE上截取AH=PB,连接AC、CH、BC、CP。
C是的中点∴=
∴AC=BC
∵=
∴∠A=∠B
∴在△CAH与△CBP中
∴△CAH≌△CBP(SAS)
CH=CP
CE⊥HP
PE=EH
AE=PE+PB
2、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CP均分△ABC的外角∠BCQ,∠ACB=120°,求的值。
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解析:要求的值,可用截长的方法来做,即可在

AB

上截取

BE=AC,使△PBE≌△PAC。
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即可求出的值。
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解:连接PA、PB,在BC上截取BE,使BE=AC,连接PE。
∵∠QCP+∠PCA=180°
又∵∠PCA+∠PBA=120°
∴∠QCP=∠PBA
∵=
∴∠PCB=∠PAB
又∵∠QCP=∠PBA
∴∠PBA=∠PAB
PA=PB,=
在△PBE与△PAC中
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∴△PBE≌△PAC(SAS)
PC=PE
∴∠PEC=∠BCP=30°
∴=
∴=
3、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CP均分△ABC的外角∠ACQ,∠ACB=90°,求证:①=
AC-BC=PC
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解析:要证明AC-BC=PC,可使用截长的方法,即在而后将HC与PC成立一个等腰直角三角形,且

AC上截取AH=BC,HC=AC-BC,
HC为斜边,PC为直角边。经过求解
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APH≌△CBP。即可证明AC-BC=PC。
证明:连接PA、PB,在AC上截取AH=BC。
∵CP均分∠ACQ,∠ACQ=90°∴∠PCA=∠QCP=45°
∵四边形APCB为圆的内接四边形
∴∠PAB+∠PCB=180°=∠PCQ=∠PCB
∴=
∴PA=PB
∵=
∴∠CBP=∠PAC
在△APH与△CBP中
∴△APH≌△CBP
∴PH=PC
∵∠PCH=45°
又∵△PHC为等腰直角三角形
∴AC-AH=AC-CB=HC=PC
∴AC-BC=PC
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4、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD均分∠ACB,∠ACB=120°,求的值。
解析:要求,我们的思路是将CB延长至并与CD成立在一个三角形内,而后解三角形并证
明延长线与CA相等。我们将CB延长至H,作CH=CA+CB,而后将CH和CD成立
在一个三角形内,即过点D作∠CDH=60°延长CB,交DH于点H,即可证
△CAD≌△HBD,再可求出的值。
解:过点D作∠CDH=60°延长CB,交DH于点H,连接AD、BD,
∵∠ADB=CDH=60°
∴∠BDH=∠ADC
∵∠DCH=60°=∠H=∠ACD
∴DH=DC
在△CAD与△HBD中
∴△CAD≌△HBD(ASA)
∴CA=BH
CB+BA=CD
∴=1
5、如图,P是等边△ABC外接圆上任意一点,求证:PA=PB+PC。
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解析:要证明

PA=PB+PC,可用截长的方法,即在

PA

上截取

AG=CP,而后证明

PG=BP
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即可。
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证明:在AP上截取AG=CP
∵△ABC为等边三角形
AB=BC
∵=
∴∠BAG=∠PCB
在△ABG与△CBP中
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∴△ABG≌△CBP(SAS)
BP=BG,∠ABG=∠PBC
∴∠GBP=60°,BP=PG
∴PA=PB+PC
6、如图,RT△ABC中,AD为斜边BC的高,P为AD的中点,BP交AC于N,NM⊥BC
于M。求证:MN2=AN·NC。
解析:要证明MN2=AN·NC,可将此式化为=,而后利用相似三角形的比率关系进行求解。
证明:延长BA、MN,交于点E。
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠EAN=∠MNC=90°
∵∠ANE=∠MNC
∴∠C=∠E
∴△AEM∽△MNC
AD∥MN
∴∠CNM=∠CAD
CMN=∠CDA
∵∠C=∠C
∴△CNM∽△CAD
∴=
MN2=AN·NC
7、如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,CD均分∠ACB交⊙O于点D,交AB
于点F,弦AE⊥CD于H,连接CE、OH。求证:OH⊥AC。
解析:要证明OH⊥AC,可用补短的方法,即延长CB、AE,交于点M,即可证OH∥AC。
即可证明OH⊥AC。
证明:延长CB交AE的延长线于点M。
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACM=90°
∵AM⊥CD,且CD均分∠ACB
∴AH=HM,OA=OB
∵OH是△ACE的中位线
∴OH∥CM
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