文档介绍：该【高等代数 第四章 线性变换 】是由【zhuwo11】上传分享，文档一共【29】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高等代数 第四章 线性变换 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第四章线性变换<br****题精解
,那些不是:
在线性空间V中, ,其中aGV是一固定的向量;
在线性空间V中,A^=a其中aGV是一固定的向量;
在P3中,A(X],X2,X3)二(X2,x2+x3,x2);
在P3中,A(X],x2,x3)=(2X]-x2,x2+X3,X]);
在卩[x冲,Af(x)二f(x+1)
在P[x]中,Af(x)二f(xo),其中xogP是一固定的数;
把复数域上看作复数域上的线性空间,
在Pnxn中,AX=BXC其中B,)当a—0时,是;当a丰0时,不是.
当a—0时,是;当J丰0时,不是.
不是•例如当a—(1,0,0),k—2时,kA(a)—(2,0,0),A(ka)—(4,0,0),A(ka)丰kA(a).
—(x,x,x),P—(y,y,y)有
1 2 3 1 2 3
A(a+卩)=A(x+y,x+y,x+y)
1 1 2 2 3 3
=(2x+2y-x-y,x+y+x+y,x+y)
1 1 2 22 2 3 31 1
=(2x-x,x+x,x)+(2y-y,y+y,y)
1 2 2 3 1 1 2 2 3 1
=Aa+AP
A(ka)=A(kx,kx,kx)
123
(2kx-kx,kx+kx,kx)
1 2 2 3 1
(2kx-kx,kx+kx,kx)
=kA(a)22 31
故A是P3上的线性变换.
(x)GP[x],g(x)GP[x],并令
u(x)—f(x)+g(x)则
A(f(x)+g(x))=Au(x)=u(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=Af(x)+A(g(x))再令v(x)—kf(x)则A(kf(x))—A(v(x))—v(x+1)—f(x+1)—kA(f(x))故A为p[x]上的线性变换.
是•因任取f(x)GP[x],g(x)GP[x]则.
A(f(x)+g(x))=f(x)+g(x)—A(f(x))+A(g(x))00
A(kf(x))—kf(x0)—kA(f(x))
不是•例如取a=1,k=I,则
A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)丰kA(a)
是•因任取二矩阵X,YePnxn,则
A(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=AX+AY
A(kX)=B(kX)=k(BXC)=kAX
故A是Pnxn上的线性变换.
2•在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕OX轴由oy向oz方向旋转90度的变换”以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,:
A4=B4=C4=E»ABHBA,A2B2=B2A2
并检验(AB)2=A2B2是否成立.
解任取一向量a=(x,y,z),则有
因为
Aa=(x,-z,y), A2a=(x,-y,-z)
A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)
Ba=(z,y,-x), B2a=(-x,y,-z)
B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)
Ca=(-y,x,z), C2a=(-x,-y,z)
C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)
所以
A4=B4=C4=E
因为
AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)所以
AB丰BA
因为
A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)
B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以
A2B2=B2A23)因为
(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)
A2B2(a)=(-x,-y,z)
所以
(AB)2丰a2B2
3•在P[x]中Af(x)二f'(x),Bf(x)=xf(x)
证明:AB-BA二E
证任取f(x)eP[X],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)+xf;(x)-xf'(x)=f(x)所以AB-BA=E
4•设A,B是线性变换,如果AB-BA=E证明:
AkB-BAk=kAk-i(k>1)
证采用数学归纳法.
当k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA2=A
结论成立.
归纳假设k二m时结论成立,即AmB-BAm=mAm-+1时,有
Am+1B-BAm+1=(Am+1B-AmBA)+(AmBA-BAm+1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mA
m-1A=(m+1)Am
即k二m+1时结论成立•故对一切k>1结论成立.
5•证明:可逆变换是双射.
证设A是可逆变换,它的逆变换为A-1•
若a丰b,则必有Aa丰Ab,不然设Aa=Ab,两边左乘A-1,有a=b,这与条件矛盾.
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A-1b=a即可.
因此,A是一个双射.
6•设£,£,K,£是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。证明:A是可逆变换当且
12n
仅当A848,KA8线性无关.
12n
证因
A(81,82,K,8)=(A81,A82,K,A8)=(81,82,K,8)A
12n12n12n
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A8,A8,
故A可逆的充要条件是A8A,KA线性无关.
12n
:
第1题4)中变换A在基8]=(1,0,0),82=(0,1,0),83=(0,0,1)下的矩阵;
[o;8],82]是平面上一直角坐标系A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对82的垂直投影,求A,B,AB在基81,82下的矩阵;
在空间P[x]中,设变换A为f(x)Tf(x+1)-f(x)
n
试求A在基8=x(x—1)K(x—i+1) (1=1,2,K,n-1)
i i!
下的矩阵A;
4)六个函数81=eaxcosbx,82
=eaxsinbx
8=xeaxcosbx,8=xeaxsinbx
34
eaxcosbx,8=eaxx2sinbx12
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基8(i=1,2,K,6)下的i
矩阵;
'10 1、
已知P3中线性变换A在基耳1=(丄1,1),耳2=(1,0,-1),耳3=(0丄1)下的矩阵是1 1 0
123〔-12 1丿
求A在基81=(1,0,0),82=(0,1,0),83=(0,0,1)下的矩阵;
在P3中,A定义如下:
'An=(-5,0,3)
<An1=(0,-1,6)
2
An=(-5,-1,9)
3
其中
耳=(-1,0,2)
<4=(o,i,i)
2
4=(3,-1,0)
3
求在基81=(1,0,0),£2=(0,1,0),£3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在41,42,43下的矩阵.
解1) A81=(2,0,1)=281+83
A82=(-1,1,0)=-81+82
A83=(0,1,0)=8
(2
故在基81,82,
8下的矩阵为0
—1
1
0
2)取81=(1,0),82=
0,1)
11
A8= 8+ 8
1
2122
故A在基81,82下的矩阵为A=
(1
2
1
<2
1[
2
1
2丿
又因为B81=0,B82=82所以B在基81,
82下的矩阵为
B=
,另外,(AB)8=A
2
(B8)=A8=18+18
222122
所以AB在基8],82下的矩阵为AB=
1]
2
1
2丿
3)因为8=1,8=X,8
012
=X(X—1),K,8 =
x(x-1)K[x-(n-2)]
2!
n-1
(n-1)!
,所以As0二1-1二0
A8=(X+1)—X=8
10
A8
n-1
(x-1)xK[x-(n-3)] x(x-1)K[x-(n-2)]
(n-1)!
(n-1)!
x(x-1)K[x-(n-3)]
(n-1)!
{(x+1)—[x—(n—2)]}
n-2
£’下的矩阵为A=
n-1
4)因为D£1=a£1-b£2,
D£2=b£1-a£2,£6
D£3=£1+a£3-b£4,
D£4=£2+b£3+a£4,
D£5=£3+a£5-b£6,
D£=£+b£+a£
6456
,所以D在给定基下的矩阵为D=
5)因为⑴1,n2儿)=(£1,£2,
£3)
/a
-b
0
0
0
<0
(-1
1
、1
a
0
0
0
0
a
-b
0
0
0
0
1
0
a
-b
0、
0
0
0
1
b
(£1,£2,£3)=(n1,n2,n3)
(-1
0
<1
1
0
-1
-1]
-1=(n
1丿
所以
1,n2,n3)X,
故A在基£1,£2,£3下的矩阵为
〔-11
0]
r1
0
1]
〔-1
1
-1]
〔-1
1
-2]
B=X-1AX=
10
1
1
1
0
0
1
-1
=
2
2
0
<1-1
1丿
厂1
2
1丿
<1
0
1>
<3
0
2丿
6)因为⑴”=仗1,82
‘-10 3 '
8)01-1
3
1210丿
所以A⑴』2,g=A(81,82
‘-10 3 '
8)01-1
3
I210丿
(-5
但已知A⑴J2,仲=(81,82
0 -5、
-1-1丿故
69丿丿
(-5
(-1
A(81,82
83)=(81,8
3)
-1
-1
3、
-1丿丿-1
0丿丿
(-1
-3
〔-5
0
-5]
8)
3
0
-1
-1
13
6
9丿
〔-5
20
-20
7
T
7
8)
3
-4
-5
-
2
7
7
7
27
18
24
1丁
T
T
=(81,82
=(81,82
丿
7
7
2
7
2
83)=(叫,耳2,1)
7
6
7
-1
7丿
1
7
1
7丿
-1
7)因为(81,82
0 3、
1-1-1
10丿
〔-1
0
3、
〔-5
0 -5、
所以a⑴1,n2,3=(叫,n2儿)
0
1
-1
-1
0
-1-1
<2
1
0丿
k3
69丿
(2
3 5、
0-1
10丿
(ab「
rab]
在P2x2中定义线性变换A(X)=
X,A (X)=X
1
kcd丿
2
kc d丿
8.
A2(X)=
求A,A,A在基E,E,E,E下的矩阵。
2311122122解因
AE=aE+cE,AE=aE+cE,
111
11
12
1
12
1222
AE
=bE
+dE
A
E=
bE+dE'
121
11
21
1
22
2122
故A在基E
'E
'E
'E
下的矩阵为
1
11
12
21
22
a
0
b
0'
0
a
0
b
A=
1
c
0
d
0
0
c
0
d丿
又因
AE
=
aE
+bE
'A
E
=cE+dE'
2
11
11
12
212
1112
AE
=
aE
+bE
'A
E
=cE+dE'
2
21
21
22
222
2122
故A
在基E
'E
'
E
'E
下的矩阵为
2
11
12
2122
(a
c
0
0、
b
d
0
0
A=
2
0
0
a
c
<0
0
b
d丿
又因
AE=a2E+abE+acE+bcE
31111122122
AE=acE+adE+c2E+cdE
31211122122
AE=abE+b2E+adE+bdE
32111122122
AE=bcE+bdE+cdE+d2E
32211122122
故A3在基E11'E12,E21'E22下的矩阵为