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高等代数 第四章 线性变换
第四章 线性变换<br****题精解
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1〕 在线性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB?BA 3)因为
AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z) 222BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以
AB=BA 3) 因为
(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x) 22AB(a)=(-x,-y,z) 所以
(AB)?AB
'[x] 中,Af(x)?f(x),Bf(x)?xf(x)
2222222222244422224442222证明:AB-BA=E
证 任取f(x)?P[x],那么有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)?xf;(x)-xf'(x)=f(x) 所以 AB-BA=E
,B是线性变换,假如AB-BA=E,证明: AB-BA=kA
kkk?1
(k>1)
证 采纳数学归纳法. 当k=2时
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.
mmm?1归纳假设k?m时结论成立,即AB-BA=?m?1时,有 m?1m?1m?1mmm?1mmmm2222AB-BA=(A
mB-ABA)+(ABA-BA
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+mA
m?1A=(m?1)A
即k?m??1结论成立. :可逆变换是双射.
证 设A是可逆变换,它的逆变换为A
?1.
?1假设a?b,那么必有Aa?Ab,不然设Aa=Ab,两边左乘A其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A因此,A是一个双射.
?1,有a=b,这与条件冲突.
b=a即可.
?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A?1,A?2,?,A?n线性无关. 证 因
A(?1,?2,?,?n)=(A?1,A?2,?,A?n)=(?1,?2,?,?n)A
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A??1,A?2,?,A?n线性无关. :