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一、平面图形的面积
二、立体的体积
三、经济应用
一、平面图形的面积
平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解。
一条曲线情形:(积分变量为x)
(1)f(x)≥0,
(2)f(x)≤0,
(3)一般状况
一条曲线(积分变量为y)
(1)
(2)
(3)一般状况
2条曲线(选择合适的积分变量)
x
y
o
x
y
o
选x作为变量上边曲线减去下边曲线
注:求面积时保证被积函数的非负性
x
y
o
当两条曲线相交时,应求出其交点作为区间分段点.
选y作为变量右边曲线减去左边曲线
画草图.
例
所围成图形的面积.
计算由
解
得交点(0,0)和(1,1)
解方程组
另解.
选x为积分变量
选y为积分变量
求面积的解题步骤
1、画草图
2、联立方程求交点
3、选取合适的积分变量,确定积分区间
4、确定被积函数,利用公式进行求解
积分变量的选择
选取积分变量x(y)应满足:过点x(y)作垂直于x(y)轴的直线穿区域D,是一进一出,即最多两个交点;
x
y
o
积分区间的确定
选取积分变量x应为区域的左右两个边界点所确定的区间;
选取积分变量y应为区域的上下两个边界点所确定的区间;
被积函数应遵循的原则
---大减小(x上减下,y右减左)
理论上可以选择任何一个变元为积分变量.
例:计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.
解
两曲线的交点
选为积分变量
于是所求面积
例:计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.
解:
两曲线的交点
选为积分变量
选x为积分变量