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二次函数复****br/>二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数,也是初中数学的主要内容之一,它在中学数学中起着承前启后的作用,它与一元二次方程、一元二次不等式知识的
综合运用,,二次函数在工程技术、商业、,使我们能进一步理解函数思想和函数方法,提升剖析问题、.
例1(1)设抛物线y=2x2,把它向右平移p个单位,或向下移q个单位,都能使得抛物线与直线y=x-4恰巧有一个交点,求p,q的值.
把抛物线y=2x2向左平移p个单位,向上平移q个单位,则获得的抛物线经过点(1,3)与(4,9),求p,q的值.
把抛物线y=ax2+bx+c向左平移三个单位,向下平移两个单位
析
式.
解(1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后,获得的抛物线为y=2(x-p)
程
2(x-p)2=x-4
有两个同样的根,即方程
2x2-(4p+1)x+2p2+4=0
的鉴别式
=(4p+1)2-4·2·(2p2+4)=0,
抛物线y=2x2向下平移q个单位,获得抛物线y=2x2--q=x-4
有两个同样的根,即
△=1-4·2(4-q)=0,
。
1
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(2)把y=2x2向左平移p个单位,向上平移q个单位,获得的抛物线为y=2(x+p)2+,由题设得
解得p=-2,q=1,即抛物线向左平移了两个单位,向上平移了一个单位.
解得h=3,k=
说明
将抛物线y=ax2+bx+c向右平移p个单位,获得的抛物线是
y=a(x-p)2
+b(x-p)
+c;向左平移p个单位,获得的抛物线是
y=a(x+p)2+b(x+p)+c;向上
平移q个单位,获得
y=ax
2+bx+c+q;向下平移
q个单位,获得y=ax
2+bx+c-q.
例2
已知抛物线
y=ax2+bx+c的一段图像如图
3-7所示.
确立a,b,c的符号;
求a+b+c的取值范围.
。
2
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解(1)因为抛物线张口向上,所以a>(0,-1),
合
a>0便知b<>0,b<0,c<0.
(2)记f(x)=ax2+bx+(1)知
所以
a+b+c=a+(a-1)-1=2(a-1),
-2<a+b+c<0.
3已知抛物线y=ax2-(a+c)x+c(此中a≠c)不经过第二象限.
(1)判断这条抛物线的极点A(x0,y0)所在的象限,并说明原因;
若经过这条抛物线极点A(x0,y0)的直线y=-x+k与抛物线的另一
解(1)因为若a>0,则抛物线张口向上,于是抛物线必定经过第二象限,所以
当抛物线y=ax2-(a+c)x+c的图像不经过第二象限时,必有a<=0时,y=c,
即抛物线与y轴的交点为(0,c).因为抛物线不经过第二象限,所以c≤
所以极点A(x0,y0)在第一象限.
。
3
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B
在直线y=-x+k上,所以0=-1+k,所以k=-=-x-1经过
-2
x2+2x.
求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的分析式,需要三个独立的条件确立三个系数a,b,:
(1)已知抛物线经过三点,此时可把三点坐标代入分析式,获得对于a,b,c
的三元一次方程组,解方程组可得系数a,b,,这时
把两点坐标代入分析式,得两个方程,再利用其余条件可确立a,b,
抛物线经过某一点,这时把这点坐标代入分析式,再联合其余条件确立a,b,c.
(2)已知抛物线的极点坐标为(h,k),这时抛物线可设为
y=a(x-h)2+k,
再联合其余条件求出a.
已知抛物线与x轴订交于两点(x1,0),(x2,0),此时的抛物线可设为
y=a(x-x1)(x-x2),
再联合其余条件求出a.
例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c知足条件:f(0)=2,f(1)=-1,
解由f(0)=2,f(1)=-1,得
。
4
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即c=2,b=-(a+3).所以所求的二次函数是
y=ax2-(a+3)x+2.
因为二次函数的图像在x轴上所截得的线段长,就是方程ax2-(a+3)x+2=0两根差的绝对值,而这二次方程的两根为
于是
所以所求的二次函数表达式为
例5设二次函数f(x)=ax2+bx+c,当x=3时获得最大值10,而且它的图像在x轴上截得的线段长为4,求a,b,c的值.
剖析当x=3时,获得最大值10的二次函数可写成f(x)=a(x-3)2+10,且a<
0.
解因为抛物线的对称轴是x=3,又因为图像在x轴上截得的线段长是4,所以由对称性,图像与x轴交点的横坐标分别是1,,二次函数又可写成
f(x)=a(x-1)(x-5)
。
5
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的形式,进而
a(x-3)2+10=a(x-1)(x-5),
所以
例6如图3-8,已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0,b<0)的图像与x轴、y轴都只有一个公共点,分别为点A,B,且AB=2,b+2ac=0.
求二次函数的分析式;
(2)若一次函数y=x+k的图像过点A,并和二次函数的图像订交于另一点C,求
△ABC的面积.
解(1)因二次函数的图像与x轴只有一个公共点,故b2-4ac=0,而b+2ac=0,
所以
b2+2b=0,
b=-2(因为b<0).
点B的坐标为(0,c),AB=2,由勾股定理得
。
6
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所以1+a2c2=4a2.
因为ac=1,所以
4a2=2,
练****六
:
将抛物线y=2(x-1)2+2向右平移一个单位,再向上平移三个单位,获得的图像的分析式为______.
(2)已知y=x2+px+q的图像与x轴只有一个公共点(-1,0),则(p,q)=____.
。
7
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(3)已知二次函数y=a(x-h)2+k的图像经过原点,最小值为-8,且形
二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A(-1,0),B(-3,2),且它与x轴的两个交点间的距离为4,则它的分析式为________.
(5)已知二次函数y=x2-4x+m+8的图像与一次函数y=kx+1的图像订交于点(3,
,则m=___,k=_____.
对于自变量x的二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)中,m是不小于零的整数,它的图像与x轴交于点A和点B,点A在原点左侧,点B在原点右侧,则这个二次函数的分析式为____.
=x2+2ax+b与x轴有两个不一样交点.
(1)把它沿y轴平移,使所获得的抛物线在x轴上截得的线段的长度是本来的2
倍,求所获得的抛物线;
经过(1)中所得曲线与x轴的两个交点,及本来的抛物线的极点,作一条新的抛物线,求它的分析式.
=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,极点为C.
(2)
若△ABC是等腰直角三角形,求b2-4ac
的值;
(3)
若b2-4ac=12,试判断△ABC的形状.
:y=ax2+4x+3a和C2:y=x2+2(b+2)x+b2+
把C1沿x轴向左平移一个单位后,所得抛物线的极点恰与C2的极点对于x轴对称,
a,b.
=x2-2bx+b2+c的图像与直线
y=1-x只有一个公共点,而且顶
点在二次函数
2
的图像上,求
a的取值范围
y=ax(a≠0)
。
8