高三数学三角函数.docx

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1
三角函数与解三角形
考试说明要求
序号
内容
要求
A
B
C
1
三角函数的有关概念
√
2
同角三角函数的基本关系式
√
3
正弦、余弦的诱导公式
√
4
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
√
5
函数的图象和性质
√
6
两角和(差)的正弦、余弦和正切
√
7
二倍角的正弦、余弦和正切
√
8
几个三角恒等式
√
9
正弦定理、余弦定理及其应用
√
二、应知应会知识和方法:
1.(1)已知,并且是第二象限角,则等于.
解:.
(2)设,且,则x的取值范围是.
解:[,].
(3)已知,且,则.
解:.
(4)若,则=.
解:2.
说明:考查同角三角函数的基本关系式。注意:(1)平方关系式中的符号选取;(2)公式的变形使用;(3)商数关系中的弦切互化功能.
2.(1)的值是.
解:.
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2
(2)化简=.
解:.
(3)设,,,则a、b、c的大小关系是.
解:.
说明:考查正弦、余弦的诱导公式,“奇变偶不变,符号看象限”的含义.
2.(1)在同一平面直角坐标系中,函数的图象和直线的交点个数是.
解:2.
(2)若动直线与函数和的图像分别交于两点,则的最大值为.
解:
说明:考查正弦函数、.
3.(1)函数的最小正周期为;图象的对称中心是;对称轴方程是;当x∈[0,]时,函数的值域是.
(2)把函数的图像向右平移个单位,所得到的图像的函数解析式为,再将图像上的所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则所得到的图像的函数解析式为.
解:;.
(3)函数在区间上的最大值是.
解:.
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3
(4)已知,且在区间有最小值,无最大值,则=__________.
解:.
(5)已知函数,则函数的最小正周期是;图象的对称轴方程是;函数在区间上的值域是.
说明:,将问题转化为对或的图象的研究.
3.(1)已知,且,则.
(2),是方程的两个根,则.
解:.
(3)若,则.
解:
(4)=.
解:2.
(5)已知cos(α-)+sinα=,则的值是.
说明:熟练运用两角和与差的三角公式,,追求已知角和未知角、一般角和特殊角的沟通.
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4.(1)在中,,则最小内角度数为.
解:.
(2)在中,已知,,,则.
解:或.
(3)已知,则的形状是.
解:等腰直角三角形.
(4)在中,比长4,比长2,且最大角的余弦值是,则的面积等于______________.
解:.
(5)设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=,c=3b,则的值是.
说明:在三角形中,如果知道两角及一边或两边及一边的对角,用正弦定理;如果知道两边及夹角或三边,用余弦定理。如果在同一个式子中,既有角又有边,常运用正、余弦定理进行边与角的互换,实现单一化,以利于解题。
5.(1)求函数的最大值与最小值.
解:最大值为10;最小值为6.
(2)在中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,,.①若的面积等于,求;②若,求的面积.
解:①;②.
反馈练****br/>1.“”是“”的充分不必要条件.
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
,,其中,若,则.
.
,则实数
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.
,若,且在区间内有最大值,无最小值,则.
.
7.,,其中,则_____________.
[-2,2].
=.
.
,点A、B在函数的图象上,则直线的方程为.
BB
A
y
x
1
O
(第11题)
第12题图

的部分图象如图所示,则的值为 .
,且,则 .
图一
第14题图
图二
(定值),半径为(定值),分别按图一、二作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为,则按图二作出的矩形面积的最大值为.
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,已知,设,
(1)求角的值;
(2)若,其中,求的值.
解:(1)由,得
所以,又因为为三角形的内角,所以,
…………………………………………6分
(2)由(1)知:,且,所以………………8分
故
=. …………………………………………14分
16.(本题满分14分)
已知向量与共线,其中A是△ABC的内角.
(1)求角的大小;
(2)若BC=2,求△ABC面积的最大值,并判断S取得最大值时△ABC的形状.
【解】(1)因为m//n,所以.………………2分
所以,即,……3分
即 . …………………………………………4分
因为,所以.…………………………5分
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故,.…………………………………………7分
(2)由余弦定理,得.………8分
又,………………9分
而,(当且仅当时等号成立)…11分
所以.………………………12分
当△ABC的面积取最大值时,.又,故此时△ABC为等边三角形.…14分
17.(本小题满分14分)
如图,在四边形ABCD中,CA=CD=AB=1,=1,∠BCD=.
D
C
B
A
(第15题)
(1)求BC的长;
(2)求四边形ABCD的面积;
(3)求D的值.
解(1)由条件,得AC=CD=1,AB=2.
∵=1,∴1×2×∠BAC=∠BAC=.
∵∠BAC∈(0,π),∴∠BAC=. ………………2分
∴BC2=AB2+AC2-2AB·AC∠BAC=4+1-2×2×=3.
∴BC=. ………………5分
(2)由(1)得BC2+AC2=AB2.
∴∠ACB=. ………………6分
∴∠BCD==.
∵∠ACD∈∈(0,π),∴.………8分
∴S△ACD=×1×1×=.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=. ………………10分
(3)在△ACD中,
AD2=AC2+DC2-2AC·DC∠ACD=1+1-2×1×1×=.
∴AD=. ………………12分
∵,
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∴.………………14分
18.(本小题满分14分)
在中,角所对的对边长分别为;
(1)设向量,向量,向量,若,求的值;
(2)已知,且,求.
解:(1),
由,得, (4分)
即
所以;(7分)
(2)由已知可得,,
则由正弦定理及余弦定理有:, (10分)
化简并整理得:,又由已知,所以,
解得,所以. (14分)
19.(本小题满分14分)在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C所对的边,且b2=ac,向量和满足.(1)求的值;(2)求证:三角形ABC为等边三角形.
【解】(1)由得,,……………………2分
又B=π(A+C),得cos(AC)cos(A+C)=,……………………4分
即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=,所以sinAsinC=.……………6分
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【证明】(2)由b2=ac及正弦定理得,故.……………8分
于是,=cos(AC)>0,所以,故.…………………11分
由余弦定理得,即,又b2=ac,所以得a=c.
因为,所以三角形ABC为等边三角形.…………………14分
△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知,
(1)求角;
(2)若是△ABC的最大内角,求的取值范围.
解(1)在△ABC中,由正弦定理,得,……………2分
又因为,所以,……………4分
所以,又因为,所以.……………6分
(2)在△ABC中,,
所以=,………10分
由题意,得≤<,≤<,
所以sin(),即2sin(),
所以的取值范围.………………14分
21.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)若△ABC的面积,求a的值.
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解:(1)∵==,
∴.…………………………………2分
∵,,∴.
∵,
∴==.……………………………5分
(2)∵,∴为锐角,
∴.
∵,
,………………………8分
∴=
=.………………………10分
(3)∵,∴,.
∴.……………12分
又∵S=,
∴,∴.……………………14分
22.(本题满分14分)
已知函数
⑴求的最小正周期及对称中心;
⑵若,求的最大值和最小值.
解:⑴
∴的最小正周期为,--------------6分