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《概率论与数理统计》综合复习资料
一、填空题
1、一个盒子中有10个球,其中有3个红球,2个黑球,5个白球,从中取球两次,每次取一个(无放回),则:第二次取到黑球的概率为;
取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、的概率密度为(),则。
3、已知随机变量且与相互独立,设随机变量,则;
。
4、已知随机变量的分布列为
-102
则:=;
=。
5、设与独立同分布,且,则(=。
6、设对于事件、有,,,则、都不发生的概率为。
7、批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中任取一件,结果不是三等品,则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立,且概率分布分别为
();
则:=;=。
2
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9、已知工厂生产产品的次品率分别为2%和1%,现从由工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该产品是工厂的概率为。
10、设的概率分布分别为
;
则:=;=。
二、选择题
1、设和相互独立,且分别服从和,则。
..
..
2、已知,,,则。
.
.
3、设某人进行射击,每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次,则恰好击中3次的概率为。
..
..
4、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次,,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是。
()()5/11()()6/11
5、设事件、、满足,则下列结论正确的是。
()()
3
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()()
6、设,,,则(=。
()40()34()()
7、设为来自总体的一个样本,为样本均值,未知,则总体方差的无偏估计量为。
8、设每次试验成功的概率为2/3,则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为。
()()()()
9、设是随机变量,常数),对任意常数,则必有。
()()
()()
三、解答题
1、设的分布函数为,求:
(1)的概率分布;
(2)、、。
4
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2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的,其中1/2是第一家工厂生产的,其余两家各生产1/4,又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品,第三家工厂生产的产品有4%的次品,现从箱中任取一件,求:
(1)取到的是次品的概率;
(2)若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
3、设随机向量的概率密度为
求:(1)常数;
(2)关于的边缘概率密度,并判断与是否相互独立。
4、已知、分别服从正态分布和,且与的相关系数,设,求:
(1)数学期望,方差;
(2)与的相关系数。
5、设为的一个样本,
其中为未知参数,求的极大似然法估计量。
6、已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,求:
(1)该产品是次品的概率;
(2)若取到的是次品,那么该产品是工厂的概率。
7、设的概率分布为
求:和。
5
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8、一口袋中装有四只球,分别标有数字1,2,2,3。现从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一球,以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求:(1)和的联合概率分布;(2)关于和关于边缘概率分布。
9、设总体的分布列为
10
为的一个样本,求的极大似然估计。
10、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成,、、,求电路发生断路的概率。
11、设随机地在1,2,3中任取一值,随机地在1中任取一整数值,求:
(1)的分布律;
(2)关于和的边缘分布律。
12、设为的一个样本,且的概率分布为
其中为未知参数,为常数,求的极大似然估计。
13、在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1,2,3路汽车,设每个人等车时间(单位:分钟)均服从[0,5]上的均匀分布,求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
14、一个盒子中有三只乒乓球,分别标有数字1,2,2。现从袋中任意取球二次,每次取一只(有放回),以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求:
(1)和的联合概率分布;
(2)关于和边缘分布;
(3)和是否相互独立?为什么?
15、设为来自总体X的一个样本,且存在,验证统计量(1)、(2)都是的无偏估计,并指出哪一个更好。
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(1);
(2)。
16、设随机变量(,)具有概率密度
,
求(1)常数C;
(2)关于和关于的边缘分布密度。
17、设,其中是来自总体的简单随机样本。试问当、各为何值时,统计量服从分布,并指出其自由度。
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《概率论与数理统计》答案
一、填空题
-11
10.
二、选择题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
三、解答题
1、设的分布函数为
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求:(1)的概率分布;(2)、、;
解:(1)的概率分布列为
012
1/31/61/2
(2)
2、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的,其中1/2是第一家工厂生产的,其余两家各生产1/4,又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品,第三家工厂生产的产品有4%的次品,现从箱中任取一件,求:(1)取到的是次品的概率;(2)已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
解:设事件表示:“取到的产品是次品”;事件表示:“取到的产品是第家工厂生产的”()。则,且,两两互不相容。
由全概率公式得
(2)由贝叶斯公式得
=
3、设随机向量的概率密度为
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求:(1)常数;
(2)关于的边缘概率密度,并判断与是否相互独立。
解:(1)利用归一性知:
(2),
当时,有;
其他情况时,
综合知,
同理
由于知与不相互独立。
4、已知、分别服从正态分布和,且与的相关系数,设,求:
(1)数学期望,方差;(2)与的相关系数。
解:(1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得
(2)