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1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B);
②.三角形三边关系:a+b>c;a-b<c
③.锐角三角形性质:假设A>B>C那么
2、三角形中的根本关系:
3、正弦定理:在中,、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径,那么有.
4、正弦定理的变形公式:
①化角为边:,,;
②化边为角:,,;
③;
④=2R
5、两类正弦定理解三角形的问题:①两角和任意一边,求其他的两边及一角.②两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况〔一解、两解、三解〕)
6、三角形面积公式:.=2R2sinAsinBsinC==
7、余弦定理:在中,有,,
.
8、余弦定理的推论:,,.
9、余弦定理主要解决的问题:①两边和夹角,求其余的量。②三边求角
10、三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
,方向角与方位角
题型一:求解斜三角形中的根本元素
指两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线
)及周长等根本问题.
例1.〔1〕在中,,,cm,解三角形.
〔2〕在.
〔3〕在.
〔4〕在△ABC中,,,,求和.
〔5〕在△ABC中,三边长,,,求三角形的最大内角.
,,,,那么.
,,AC边上的中线BD=,求sinA的值.
题型二:判断三角形的形状:给出三角形中的三角关系式,判断此三角形的形状.
例2.〔1〕在中,,那么此三角形一定是〔〕
〔2〕在中,假设,那么此三角形必是〔〕
〔3〕设的内角的对边分别为,假设,那么的形状是
1、在中,假设那么的形状是()
,假设,那么的形状为
题型三:与面积有关问题
例3、向量设函数假设函数的图象与的图象关于坐标原点对称.
(1)求函数在区间上的最大值,并求出此时x的值;
(2)在中,分别是角的对边,A为锐角,假设
的面积为求边a的长.
1.、在中,内角的对边分别为
(1)求的值;(2)假设求的面积.
,且.
〔I〕求边的长;
〔II〕假设的面积为,求角的度数.
题型之四:三角形中求值问题
,所对的边长分别为,
设满足条件和,求和的值.
,角所对的边分别为,,〔1〕求的值;〔2〕假设,,求的值。
,内角对边的边长分别是,,.
〔Ⅰ〕假设的面积等于,求;
〔Ⅱ〕假设,求的面积.
题型五:解三角形中的最值问题
△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,
求△ABC周长的取值范围
求△ABC面积的取值范围
△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
1〕求角B的大小;(2)假设,求b的取值范围
2.△在内角的对边分别为,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)假设,求△面积的最大值.
,=2,且,那么面积的最大值为.
,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.
〔Ⅰ〕求B的大小;〔Ⅱ〕求cosA+sinC的取值范围.
,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
题型六:图形中的解三角形
,在中,是边上的点,且
,那么的值为
.
,点在边上,,
,那么的长为_____.
图1
A
B
C
D
题型七:正余弦定理解三角形的实际应用
〔一〕测量问题
,为了测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河的宽度。
〔二〕遇险问题
西
北
南
东
A
B
C
30°
15°
图2
°北的方向,此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。假设此灯塔周围10海里内有暗礁,问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险?
〔三〕追击问题
,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行,假设甲船以28nmile/h的速度航行,应沿什么方向,用多少h能尽快追上乙船?
图3
A
B
C
北
45°
15°