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类型1代数型新定义问题
例1【2017•重庆a】对任意一个三位数n,如果n满足各数位
上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得
到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666一111=6,所以,F(123)=6.
(1)计算:F(243),F(617);
(2)若s,t都是“相异数”,其中s=100x+32,t=150+y(1WxW9,1WyW9,x,y都是正整数),规定:k=.当F(s)+F(t)=18时,求k的最大值.
针对训练
1•对于一个两位正整数xy(0WyWxW9,且x、y为正整数),我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”,把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t的“平方差数”•例如:对数62来说,62+22=40,62—22=32,所以40和32就分别是
62的“平方和数”与“平方差数”.
75的“平方和数”是,5可以是的“平
方差数”;若一个数的“平方和数”为10,它的“平方差数”为8,则这个数是.
求证:当xW9,yW8时,t的2倍减去t的“平方差数”再减去99所得结果也是另一个数的“平方差数”.
将数t的十位上的数与个位上的数交换得到数亡,若t与t的“平方和数”之和等于t‘与t‘的“平方差数”之和,求t.
(含n本身).得到新三位数abc(aVc),在所有重新排列中,当最小时,我们称abc是n的“调和优选数”,并规定F(n)=b2—、152、215,因为=2,=7,=5,且2V5V7,所以125是215的“调和优选数”,F(215)=22—1X5=—1.
F(236)=;
如果在正整数n三个数位上的数字中,有一个数是另外两个数的平均数,求证:F(n)是一个完全平方数;
设三位自然数t=100x+60+y(lWxW9,lWyW9,x,y为自然数),交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t若t—t'=693,那么我们称t为“和顺数”•求所有“和顺数”中F(t)的最大值.
,,,十六进制是逢十六进一,二进制就是逢二进一,以此类推,X进制就是逢X进一•为与十进制进行区分,我们常把用X进制表示的数a写成(a).
X
类比于十进制,我们可以知道:X进制表示的数(1111)中,右
X
起第一位上的1表示1XXo,第二位上的1表示1XX1,第三位上的1表示1XX2,(1111)=1XX3
X
+1XX2+1XX1+1XX0,即:(1111)转化为十进制表示的数为
X
X3+X2+X1+:(1111)=1X23+1X22+1X21+1X2o=15,
2
(1111)=1X53+1X52+1X51+1X50=,完成以
5
下问题:
把下列进制表示的数转化为十进制表示的数:
(101011)=;(302)=;(257)=
247
若一个五进制三位数(a4b)与八进制三位数(ba4)之和能
58
被13整除(lWaW5,lWbW5,且a、b均为整数),求a的值;
(3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666,则称这两个数互为“如意数”,试判断
(mml)与(nn5)是否互为“如意
68数”?若是,求出这两个数;若不是,说明理由.
我们知道,任意一个正整数n都可以进行这样的分解:n=pXq(p,q是正整数,且pWq),在n的所有这种分解中,如果p,q两因数之差的绝对值最小,我们就称pXq是n的最佳分解•并规定:F(n)=.例如12可以分解成1X12,2X6或3X4,因为12—1>6—2>4—3,所以3X4是12的最佳分解,所以F(12)=.
(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方,我们称正整数m是完全平方数.
求证:对任意一个完全平方数m,总有F(m)=1.
(2)如果一个两位正整数t,t=10x+y(1WxWyW9,x,y为自然数),交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”,求所有“吉祥数”;
⑶在⑵所得的“吉祥数”中,求F(t)的最大值.
类型2函数型新定义问题
例2已知一个大于1的正整数t可以分解成t=ac+b2的形式(其中aWc,a,b,c均为正整数),在t的所有表示结果中,当bc—ba取得最小值时,称“ac+b2”是t的“等比中项分解”,此时规定:
P(t)=,例如:7=1X6+12=2X3+12=1X3+22,1X6—1X1>2X3—2X1>1X3—1X2,所以2X3+12是7的“等比中项分解”,P(7)=.
若一个正整数q=m2+n2,其中m、为正整数,则称q为“伪完全平方数”,证明:对任意一个“伪完全平方数”q都有P(q)
若一个两位数s=10x+y(1WyWxW5,且x,y均为自然数),交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14倍,结果被8除余4,称这样的数s为“幸福数”,求所有“幸福数”的P(s)的最大值.
针对训练
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法:
方程x2—x—2=0是倍根方程;
若(x—2)(mx+n)=0是倍根方程,则4m2+5mn+n2=0;
若点(p,q)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程.
其中正确的是.(写出所有正确说法的序号)
先阅读下列材料,再解答下列问题:材料:因式分解:(x+y)
2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
因式分解:l+2(x—y)+(x—y)2=;
因式分解:(a+b)(a+b—4)+4=;
⑶证明:若n为正整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
若三个非零实数x,y,z满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组”.
实数1,2,3可以构成“和谐三数组”吗?请说明理由;⑵若M(t,y>N(t+1,心R(t+3,y)三点均在函数y=
(k为常数,kHO)的图象上,且这三点的纵坐标y,y,y构
123成“和谐三数组”,求实数t的值;
⑶若直线y=2bx+2c(bcH0)与x轴交于点A(x,0),与抛物
1
线y=ax2+3bx+3c(aH0)交于B(x,y),C(x,y)两点.
2233
求证:A,B,C三点的横坐标x,x,x构成“和谐三数组”;
123
若a>2b>3c,x=1,求点P(,)与原点0的距离0P的取值
2
范围.
+b2(a,b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,5是“完美数”,因为5=22+,M=X2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整数),所以M也是“完美数”.
(1)请你再写一个小于10的“完美数”,并判断29是否为“完美数”.
⑵已知S=x2+4y2+4x—12y+k(x,y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.
如果数m,n都是“完美数”,试说明mn也是“完美数”.
若将自然数中能被3整除的数,在数轴上的对应点称为“3倍点”P,取任意的一个“3倍点”P,到点P距离为1的点所对应的数分别记为a,:若数K=a2+b2—ab,则称数K为“尼尔数”•例如:若P所表示的数为3,贝lja=2,b=4,那么K=22+42-2X4=12;若卩所表示的数为12,贝a=11,b=13,那么K=132+112—13X11=147,所以12,147是“尼尔数”.
(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”,并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3;
(2)已知两个“尼尔数”的差是189,求这两个“尼尔数”.类型3整除问题
例3我们知道,任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解:n=p+q(p、q是正整数,且pWq),在n的所有这种分解中,如果p、q两数的乘积最大,我们就称p+q是n的最佳分解•并规定在最佳分解时:F(n)=+5或2+4或3+3,因为1X5〈2X4〈3X3,所以3+3是6的最佳分解,所以F(6)=3X3=9.
(1)求F(11)的值;
(2)一个正整数,由N个数字组成,若从左向右它的第一位数能被1整除,它的前两位数被2除余1,前三位数被3除余2,前四位数被4除余3,・…,一直到前N位数被N除余(N—1),我们称这样的数为“多余数”.女如236的第一位数“2”能被1整除,前两位数“23”被2除余1,“236”被3除余2,则236是一个“多余数”.若把一个小于200的三位“多余数”记为t,它的各位数字之和再加1为一个完全平方数,请求出所有“多余数”中F(t)的最大值.
针对训练
一个正整数,由N个数字组成,若从左向右它的第一位数可以被1整除,它的前两位数可以被2整除,前三位数可以被3整除,…,一直到前N位数可以被N整除,则这样的数叫做“精巧数”.如:123的第一位数“1”可以被1整除,前两位数
“12”可以被2整除“,123”可以被3整除,则123是一个“精巧数”.
若四位数123k是一个“精巧数”,求k的值;
若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为一个完全平方数,请求出所有满足条件的三位“精巧数”.
人和人之间讲友情,有趣的是,(即除了自身以外的正因数)之和相等,我们称这两个数为“亲和数”.例如:18的正因数有1、2、3、6、9、18,它的真因数之和为1+2+3+6
+9=21;51的正因数有1、3、17、51,它的真因数之和为1+3+17=21,所以称18和51为“亲和数”.数还可以与动物形象地联系起来,我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数”.例如:121、1351等.
8的真因数之和为;求证:一个四位的“两头蛇
数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差,能被7整除;
一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”能被16的“亲和数”整除,若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字,求满足条件的五位“两头蛇数”.
材料1:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:==—+=x—2+,
这样,分式就拆分成一个整式x-:已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x+10y+x,且1WxW4,求y与x的函数关系式.
解:・.・==9x+y+,
又・・TWxW4,0WyW9,・・・一7W2x—yW8,还要使为整数,
・:2x—y=0.
(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式,则结果为;
已知整数x使分式的值为整数,则满足条件的整数
已知一个六位整数20xy17能被33整除,求满足条件的x,y的值.
在任意n(n>1且n为整数)位正整数K的首位后添加6得到
的新数叫做K的“顺数”,在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”.若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除,称K是“最佳拍档数”•比如1324的“顺数”为16324,1324的“逆数”为13264,1324的“顺数”与“逆数”之差为16324-13264=3060,3060一17=180,所以1324是“最佳拍档数”.