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1、归一问题
【含义】
在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】
总量÷份数=1份数量
1份数量×所占份数=所求几份的数量
另一总量÷(总量÷份数)=所求份数
【解题思路和方法】
先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。
例1
,买同样的铅笔16支,需要多少钱?
解
(1)买1支铅笔多少钱?÷5=(元)
(2)买16支铅笔需要多少钱?×16=(元)
÷5×16=×16=(元)
答:。
例2
3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6天耕地多少公顷?
解
(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?90÷3÷3=10(公顷)
(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?10×5×6=300(公顷)
列成综合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷)
答:5台拖拉机6天耕地300公顷。
例3
5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次?
解
(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?100÷5÷4=5(吨)
(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?5×7=35(吨)
(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?105÷35=3(次)
列成综合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次)
答:需要运3次。
2、归总问题
【含义】
解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。
【数量关系】
1份数量×份数=总量
总量÷1份数量=份数
总量÷另一份数=另一每份数量
【解题思路和方法】
先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。
例1
,改进裁剪方法后,。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套?
解
(1)这批布总共有多少米?×791=(米)
(2)现在可以做多少套?÷=904(套)
×791÷=904(套)
答:现在可以做904套。
例2
小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》?
解
(1)《红岩》这本书总共多少页?24×12=288(页)
(2)小明几天可以读完《红岩》?288÷36=8(天)
列成综合算式24×12÷36=8(天)
答:小明8天可以读完《红岩》。
例3
食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天?
解
(1)这批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克)
(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天)
列成综合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)
答:这批蔬菜可以吃25天。
3、和差问题
【含义】
已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。
【数量关系】
大数=(和+差)÷2
小数=(和-差)÷2
【解题思路和方法】
简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。
例1
甲乙两班共有学生98人,甲班比乙班多6人,求两班各有多少人?
解
甲班人数=(98+6)÷2=52(人)
乙班人数=(98-6)÷2=46(人)
答:甲班有52人,乙班有46人。
例2
长方形的长和宽之和为18厘米,长比宽多2厘米,求长方形的面积。
解
长=(18+2)÷2=10(厘米)
宽=(18-2)÷2=8(厘米)
长方形的面积=10×8=80(平方厘米)
答:长方形的面积为80平方厘米。
例3
有甲乙丙三袋化肥,甲乙两袋共重32千克,乙丙两袋共重30千克,甲丙两袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。
解
甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙,从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克,且甲是大数,丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)
丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)
乙袋化肥重量=32-12=20(千克)
答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙两车原来共装苹果97筐,从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐,两车原来各装苹果多少筐?
解
“从甲车取下14筐放到乙车上,结果甲车比乙车还多3筐”,这说明甲车是大数,乙车是小数,甲与乙的差是(14×2+3),甲与乙的和是97,因此甲车筐数=(97+14×2+3)÷2=64(筐)
乙车筐数=97-64=33(筐)
答:甲车原来装苹果64筐,乙车原来装苹果33筐。
4、和倍问题
【含义】
已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】
总和÷(几倍+1)=较小的数
总和-较小的数=较大的数
较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里有杏树和桃树共248棵,桃树的棵数是杏树的3倍,求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?248÷(3+1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?62×3=186(棵)
答:杏树有62棵,桃树有186棵。
例2
东西两个仓库共存粮480吨,,求两库各存粮多少吨?
解
(1)西库存粮数=480÷(+1)=200(吨)
(2)东库存粮数=480-200=280(吨)
答:东库存粮280吨,西库存粮200吨。
例3
甲站原有车52辆,乙站原有车32辆,若每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,几天后乙站车辆数是甲站的2倍?
解
每天从甲站开往乙站28辆,从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量,这时乙站的车辆数就是2倍量,两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍,
那么,几天以后甲站的车辆数减少为
(52+32)÷(2+1)=28(辆)
所求天数为(52-28)÷(28-24)=6(天)
答:6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。
例4
甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三数各是多少?
解
乙丙两数都与甲数有直接关系,因此把甲数作为1倍量。
因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍;
又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数的3倍;
这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么,
甲数=(170+4-6)÷(1+2+3)=28
乙数=28×2-4=52
丙数=28×3+6=90
答:甲数是28,乙数是52,丙数是90。
5、差倍问题
【含义】
已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】
两个数的差÷(几倍-1)=较小的数
较小的数×几倍=较大的数
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1
果园里桃树的棵数是杏树的3倍,而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?
解
(1)杏树有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)
(2)桃树有多少棵?62×3=186(棵)
答:果园里杏树是62棵,桃树是186棵。
例2
爸爸比儿子大27岁,今年,爸爸的年龄是儿子年龄的4倍,求父子二人今年各是多少岁?
解
(1)儿子年龄=27÷(4-1)=9(岁)
(2)爸爸年龄=9×4=36(岁)
答:父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。
例3
商场改革经营管理办法后,本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元,又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元?
解
如果把上月盈利作为1倍量,则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍,因此
上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(万元)
本月盈利=18+30=48(万元)
答:上月盈利是18万元,本月盈利是48万元。
例4
粮库有94吨小麦和138吨玉米,如果每天运出小麦和玉米各是9吨,问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?
解
由于每天运出的小麦和玉米的数量相等,所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(138-94)就相当于(3-1)倍,因此
剩下的小麦数量=(138-94)÷(3-1)=22(吨)
运出的小麦数量=94-22=72(吨)
运粮的天数=72÷9=8(天)
答:8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。
6、倍比问题
【含义】
有两个已知的同类量,其中一个量是另一个量的若干倍,解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】
总量÷一个数量=倍数
另一个数量×倍数=另一总量
【解题思路和方法】
先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。
例1
100千克油菜籽可以榨油40千克,现在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?
解
(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)
列成综合算式40×(3700÷100)=1480(千克)
答:可以榨油1480千克。
例2
今年植树节这天,某小学300名师生共植树400棵,照这样计算,全县48000名师生共植树多少棵?
解
(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)
(2)共植树多少棵?400×160=64000(棵)
列成综合算式400×(48000÷300)=64000(棵)
答:全县48000名师生共植树64000棵。
例3
凤翔县今年苹果大丰收,田家庄一户人家4亩果园收入11111元,照这样计算,全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?
解
(1)800亩是4亩的几倍?800÷4=200(倍)
(2)800亩收入多少元?11111×200=2222200(元)
(3)16000亩是800亩的几倍?16000÷800=20(倍)
(4)16000亩收入多少元?2222200×20=44444000(元)
答:全乡800亩果园共收入2222200元,全县16000亩果园共收入44444000元。
7、相遇问题
【含义】
两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】
相遇时间=总路程÷(甲速+乙速)
总路程=(甲速+乙速)×相遇时间
【解题思路和方法】
简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。
例1
南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?
解
392÷(28+21)=8(小时)
答:经过8小时两船相遇。
例2
小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解
“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)
答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3
甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解
“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,
相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)×3=84(千米)
答:两地距离是84千米。
8、追及问题
【含义】
两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】
追及时间=追及路程÷(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)×追及时间
【解题思路和方法】
简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。
例1
好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马?
解
(1)劣马先走12天能走多少千米?75×12=900(千米)
(2)好马几天追上劣马?900÷(120-75)=20(天)