文档介绍：函数
函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数
函数有三种表示形式:
(1)列表法(2)图像法(3)解析式法
一、一次函数与正比例函数:
公式: y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数,是一次函数的特例.
一次函数与正比例函数的图形与性质
图像:正比例函数:经过原点的一条直线
一次函数: 不过原点的一条直线
正比例函数(y=kx) 一次函数( y=kx+b )
性质:正比例函数:y=kx (k≠0)
当k>0时, 经过一、三象限,即随着x的增大(或减小)y也增大(或减小);
当k<0时, 经过二、四象限,即随着 x的增大(或减小)y反而减小(或增大)。
一次函数:
当k>0时,经过一、三象限,y随x的增大(或减小)而增大(或减小);
当k<0时,经过二、四象限,y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
二、反比例函数
公式:(k为常数,k 0)
反比例函数的图像与性质
反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像
性质
①x的取值范围
y的取值范围
②当k>0时,图像在一、三象限,y随x的增大而减小
①x的取值范围
y的取值范围
②当k<0时,图像在二、四象限,y随x的增大而增大
三、二次函数
公式:y=+bx+c(a,b,c是常数a0)
二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
二次函数解析式
二次函数的解析式有三种形式:口诀----- 一般两根三顶点
(1)一般一般式:
(2)两根当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。
的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3)三顶点顶点式:
二次函数的最值
二次函数可化为顶点式如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,。
如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当时,,当时,;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,。
二次函数的性质
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;
(2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大,简记左减右增;
(4)抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,
(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;
(2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);
(3)在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,简记左增右减;
(4)抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,
2、二次函数中,的含义:
表示开口方向:>0时,抛物线开口向上
<0时,抛物线开口向下
与对称轴有关:对称轴为
表示抛物线与轴的交点坐标
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时,图像与x轴有两个交点;
当=0时,图像与x轴有一个交点;
当<0时,图像与x轴没有交点。
1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)
点A坐标为(x1,y1)点B坐标为(x2,y2)
则AB间的距离,即线段AB的长度为
2、二次函数图象的平移
①将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
②保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
③平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)
特别记忆--同左上加异右下减
说明①函数中ab值同号,图像顶点在y轴左侧同左,a b值异号,图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减
练习题:
1. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,,则油箱中剩油量Q