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复数
【知识梳理】
复数的基本概念
1、虚数单位的性质
叫做虚数单位,并规定:①可与实数进行四则运算;②;这样方程就有解了,解为或
2、复数的概念
(1)定义:形如(a,b∈R)的数叫做复数,其中叫做虚数单位,a叫做,b叫做。全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示,即(a,b∈R)
对于复数的定义要注意以下几点:
①(a,b∈R)被称为复数的代数形式,其中表示与虚数单位相乘
②复数的实部和虚部都是实数,否则不是代数形式
(2)分类:
满足条件(a,b为实数)
复数的分类
a+bi为实数⇔b=0
a+bi为虚数⇔b≠0
a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0
例题:当实数为何值时,复数是实数?虚数?纯虚数?
复数相等
也就是说,两个复数相等,充要条件是他们的实部和虚部分别相等
2
注意:只有两个复数全是实数,才可以比较大小,否则无法比较大小
例题:已知求的值
共轭复数
与共轭
的共轭复数记作,且
复数的几何意义
复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量)
相等的向量表示同一个复数
例题:(1)当实数为何值时,复平面内表示复数的点
①位于第三象限;②位于直线上
(2)复平面内,已知,求对应的复数
复数的模:
向量的模叫做复数的模,记作或,表示点到原点的距离,即,
3
若,,则表示到的距离,即
例题:已知,求的值
复数的运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R
①
②
③
(2)几何意义:,即=+,=-.
常用结论
(1),,,
求,只需将除以4看余数是几就是的几次
例题:
,
,
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2+x+1=0没有解.( )
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )
4
(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )
(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( )
【考点自测】
1.(2015·安徽)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)等于( )
+3iB.-1++iD.-1+i
2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z等于( )
A.-2-iB.-2+-+i
,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,,则点C对应的复数是( )
++++i
,b∈R,+i=2-bi,则(a+bi)2等于( )
-+-+3i
(1+2i)=4+3i,则z=________.
【题型分析】
题型一 复数的概念
例1 (1)=a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为( )
A.-3B.-
(2)已知a∈R,复数z1=2+ai,z2=1-2i,若为纯虚数,则复数的虚部为( )
(3)若z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i(m∈R),z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的( )
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引申探究
(1)中的复数z,若|z|=,求a的值.
(2)中,若为实数,则a=________.
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(1)若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )
A.-.-1或1
(2)(2014·浙江)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )
题型二 复数的运算
命题点1 复数的乘法运算
例2 (1)(2015·湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为( )
.-.-1
(2)(2015·北京)复数i(2-i)等于( )
+-2iC.-1+2iD.-1-2i
命题点2 复数的除法运算
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例3 (1)(2015·湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( )
+-iC.-1+iD.-1-i
(2)()6+=________.
命题点3 复数的运算与复数概念的综合问题
例4 (1)(2015·天津)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.
(2)(2014·江苏)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为________.
命题点4 复数的综合运算
例5 (1)(2014·安徽)设i是虚数单位,=1+i,则+i·等于( )
A.-2B.-
(2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )
A.-4B.-.
思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2),解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题,先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答.
(4),一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答.
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(5)、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的.
(1)(2015·山东)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z等于( )
-+iC.-1-iD.-1+i
(2)2016=________.
(3)+2016=________.
题型三 复数的几何意义
例6 (1)(2014·重庆)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点为△ABC的( )
思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可.
(1)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )
(2)已知z是复数,z+2i、均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
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【思想与方法】解决复数问题的实数化思想
典例 已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.
思维点拨 (1)x,y为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;
(2)利用复数相等,将复数问题转化为实数问题.
温馨提醒 (1)复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法.
(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来,.
(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数方程求解.
【方法与技巧】
、减、乘、.
=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的,=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.
,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合.
【失误与防范】
,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.
.
+bi(a,b∈R)中的实数b,即虚部是一个实数.
【巩固练****br/>1.(2015·福建)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于( )
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,-2 ,2
,-3 D.-1,4
=+i,则|z|等于( )
3.(2015·课标全国Ⅱ)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a等于( )
A.-
,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )
5.(2014·江西)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z等于( )
+iB.-1-iC.-1+-i
6.(2015·江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为________.
=a+bi(a,b为实数,i为虚数单位),则a+b=________.
(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是________.
:(1);(2);(3)+;(4).
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=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若1+z2是实数,求实数a的值.
【能力提升】
,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围是( )
A.[-1,1].
(n)=n+n(n∈N*),则集合{f(n)}中元素的个数为( )
=x+yi,且|z-2|=,则的最大值为________.
∈R,若复数z=+在复平面内对应的点在直线x+y=0上,则a的值为____________.
+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则b=________,c=________.
【巩固练****参考答案】
..<.
(1)==-1-3i.
(2)====+i.
(3)+=+=+=-1.