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第一单元分数乘法
(一)分数乘法意义:
1、分数乘整数的意义:(与整数乘法的意义相同)就是求几个相同加数的和的简便运算。◆“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。
例如:×7表示:求7个的和是多少?或表示:的7倍是多少?
2、一个数乘分数的意义:就是求一个数的几分之几是多少。
◆“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数,不能是整数。第一个因数是什么都可以。例如:×表示:求的是多少?A×表示:求A的是多少?
(二)分数乘法计算法则:
1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘,分母不变。
2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
◆为了计算简便,能约分的先约分再计算。
3、分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。
(三)积与因数的关系:
1、一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。a×b=c,当b>1时,c>a.
2、一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。a×b=c,当b<1时,c<a(b≠0).
3、一个数(0除外)乘等于1的数,积等于这个数。a×b=c,当b=1时,c=a.
◆在进行因数与积的大小比较时,要注意因数为0时的特殊情况。
(四)分数混合运算
1、分数合运算顺序:(与整数相同),先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:a×(b±c)=a×b±a×c
(五)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题
◆已知单位“1”的量,求它的几分之几是多少,用单位“1”的量与分数相乘。
1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)
例如:求25的是多少?列式:25×=15
甲数的等于乙数,已知甲数是25,求乙数是多少?列式:25×=15
2、求比一个数多(少)几分之几的数是多少?
例如:甲数比乙数多(少),乙数是25,求甲数是多少?
甲数=乙数+乙数×即25+25×=25×(1+)=40(或10)
◆巧找单位“1”的量:“的”前“比”后,“的”字相当于“×”,“是”字相当于“=”
3、求甲比乙多(少)几分之几?
相差数÷单位“1”
多:(甲-乙)÷乙
少:(乙-甲)÷乙
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第二单元位置和方向
1、确定位置的条件:
当观测点(中心)确定以后,确定物体位置是条件是(方向)和(距离)。
2、在平面图上标出物体位置的方法:
先确定(中心或观测点),然后确定(方向),再以图例选定的单位长度为基准来确定(距离);最后在具体位置标出(名称)。
3、描述并绘制简单的路线图:
先按路线确定每一个观测点,然后以每一个观测点建立(方向标),描述到下一个目的地的(方向)和(距离)。
4、位置关系的相对性;
(1)描述物体的位置与(观测点)有关系,观测点不同,物体位置的描述就(不同)。
(2)两地的位置具有(相对性),观测点不同,叙述的(方向)正好相反,(角度)和(距离)不变。
第三单元分数除法
(一)倒数
1、意义:乘积为1的两个数互为倒数。
◆倒数是两个数的关系,它们互相依存,不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是:两数相乘的积是否为“1”。
例如:a×b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法:
①求分数的倒数:交换分子、分母的位置。(的倒数是)
②求整数的倒数:整数分之一。(非零整数a(a≠0),它的倒数为)
③求带分数的倒数:先化成假分数,再交换分子和分母的位置。
④求小数的倒数:先化成分数再求倒数。
4、特殊数的倒数:
①1的倒数是它本身,因为1×1=1
②0没有倒数,因为任何数乘0积都是0,且0不能作分母。
◆真分数的倒数是假分数,真分数的倒数大于1,也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
(二)分数除法
1、意义:(分数除法是分数乘法的逆运算),已知两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。或是求一个数中包含了几个另一个数。
2、计算法则:除以一个数(0除外),等于乘上这个数的倒数。
被除数÷除数=被除数×除数的倒数。例÷3=×=3÷=3×=5
◆除法转化成乘法时,被除数一定不能变,“÷”变成“×”,除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律:
①除以大于1的数,商小于被除数:a÷b=c当b>1时,c<a(a≠0)
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②除以小于1的数,商大于被除数:a÷b=c当b<1时,c>a(a≠0b≠0)
③除以等于1的数,商等于被除数:a÷b=c当b=1时,c=a
(三)分数混合运算:同整数。
(四)分数除法应用题
1、分数乘除法应用题的对比
①已知单位“1”的量用乘法。例:甲是乙的,乙是25,求甲是多少?
即:甲=乙×—→25×=15
②未知单位“1”的量用除法(或方程)。例:甲是乙的,甲是15,求乙是多少?
即:甲=乙×—→15÷=25(建议列方程答)x=25
2、分数应用题基本数量关系
(1)甲是乙的几分之几?
甲=乙×几分之几(例:甲是15的,求甲是多少?15×=9)
乙=甲÷几分之几(例:9是乙的,求乙是多少?9÷=15)
几分之几=甲÷乙(例:9是15的几分之几?9÷15=)
(2)甲比乙多(少)几分之几?
:差÷乙=(例:9比15少几分之几?(15-9)÷15===)
:先求甲是乙的几分之几,再与1相比。
①多几分之几是:-1(例:15比9多几分之几?15÷9=-1=-1=)
②少几分之几是:1-(例:9比15少几分之几?1-9÷15=1-=1-=)
(3)甲比乙多(少)几分之几,求乙是多少?
乙=甲÷(1+)
例:9比乙少,求乙是多少?9÷(1-)=9÷=15
例:15比乙多,求乙是多少?15÷(1+)=15÷=9
◆画线段图:
(1)找出单位“1”的量,先画出单位“1”,标出已知和未知。
(2)分析数量关系。
(3)找等量关系。
(4)列方程。
两个量的关系画两条线段图,部分和整体的关系画一条线段图。
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第四单元比
(一)比的意义:两个数的比表示两个数相除。
1、比式中,比号(∶)前面的数叫比的前项,比号后面的项叫做比的后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。
◆连比如:3:4:5读作:3比4比5
2、比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几。
后项
比值
比号
例:12∶20==12÷20==∶20读作:12比20
前项
3、区分比和比值:
(1)比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数、小数。
(2)比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。
4、比和除法、分数的区别:
除法
被除数
除号
除数(不能为0)
商不变性质
是一种运算
分数
分子
分数线
分母(不能为0)
基本性质
是一个数
比
前项
比号
后项(不能为0)
基本性质
两个数的关系
(二)比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
(三)化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。
1、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
2、方法:
(1)整数比:用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
(2)分数比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
(3)小数比:向右移动小数点的位置,把小数比先化成整数比,再化简。
◆也可以先求出比的比值,再将结果写成比的形式。
(四)按比例分配:把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
例如:已知甲乙的和是56,甲、乙的比3∶5,求甲、乙分别是多少?
方法一:56÷(3+5)=7甲:3×7=21乙:5×7=35
方法二:甲:56×=21乙:56×=35
例如:已知甲是21,甲、乙的比3∶5,求乙是多少?
方法一:21÷3=7乙:5×7=35
方法二:甲乙的和21÷=56乙:56×=35
方法三:甲÷乙=乙=甲÷=21÷=35
第五单元圆
(一)圆的认识
1、定义:圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、相关概念:
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(1)圆心O:圆中心的点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。圆多次对折之后,折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
(2)半径r:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
(3)直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里,有无数条直径,且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
◆同圆或等圆内直径是半径的2倍:d=2r或r=d÷2=d=
(4)等圆:半径相等的圆叫做等圆,等圆通过平移可以完全重合。
(5)同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
3、圆是轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。
◆有1条对称轴的图形:半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角
有2条对称轴的图形:长方形
有3条对称轴的图形:等边三角形
有4条对称轴的图形:正方形
有无数条对称轴的图形:圆,圆环
4、画圆
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。
(2)画圆步骤:定半径、定圆心、旋转一周。
(二)圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率:圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母π表示。
即:圆周率π==周长÷直径≈
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)——周长公式:C=πd或C=2πr
◆圆周率π是一个无限不循环小数,,π>。
3、周长的变化的规律:半径扩大多少倍,直径也扩大多少倍,周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。如果r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=C1∶C2∶C3
4、半圆周长=圆周长一半+直径=×2πr=πr+d
(三)圆的面积
1、圆面积公式的推导
把一个圆沿直径等分成若干份,剪开拼成长方形,份数越多拼成的图像越接近长方形。
◆圆与拼成的长方形有如下关系:
圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长
长方形面积=长×宽
圆的面积=圆的周长的一半(πr)×圆的半径(r)
S圆=πd×rS圆=πr×r=πr2
2、几种图形,在面积相等的情况下,圆的周长最短,而长方形的周长最长;反之,在周长相等的情况下,圆的面积则最大,而长方形的面积则最小。
周长相同时,圆面积最大,利用这一特点,蒙古包、篮子、盘子等做成圆形。
3、圆面积的变化的规律:半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍;圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
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如果:r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=C1∶C2∶C3=2∶3∶4
则:S1∶S2∶S3=4∶9∶16
4、环形面积=大圆面积-小圆面积=πr大2-πr小2=π(R大2-r小2)
(四)扇形
1、定义:圆上任意两点(如点A、B)之间的部分叫做弧(读作弧AB),一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
2、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。(在同一圆内,扇形的大小与圆心角的大小有关)
3、扇形面积=πr2×(n表示扇形圆心角的度数)
特殊扇形的面积(90︒、180︒):S=πr2S=πr2
(五)圆周长与圆面积的实际应用
1、跑道:每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等,所以,起跑线不同,相邻两条跑道起跑线也不同,间隔的距离是:2×π×跑道宽度。
2、任意一个正方形的内切圆的直径是正方形的边长,它们的面积比是4∶π即4∶。
3、外方内圆的间隙面积=正方形的面积-圆的面积S=
外圆内方的间隙面积=圆的面积-正方形的面积S=
4、常用数据
π=====
6π====
12π=====
62π====
第六单元、百分数
(一)百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。
◆百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比,所以,百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。
1、百分数和分数的区别和联系:
(1)联系:都可以用来表示两个量的倍比关系。
(2)区别:意义不同:百分数只表示倍比关系,不表示具体数量,所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。
百分数的分子可以是小数,分数的分子只以是整数。
◆百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。
2、小数、分数、百分数之间的互化
(1)百分数化小数:小数点向左移动两位,去掉“%”。
(2)小数化百分数:小数点向右移动两位,添上“%”。
(3)百分数化分数:先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最简分数。
(4)分数化百分数:分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。
(5)小数化分数:把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。
(6)分数化小数:分子除以分母。
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(二)百分数应用题
1、求常见的百分率如:达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。
◆由于求率的特殊要求,不要忘记在算式后面“×100%”
2、求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
◆方法同求一个数比另一个数多(少)几分之几,只不过结果用百分数表示而已。
相差数÷单位“1”
求甲比乙多百分之几(甲-乙)÷乙
求乙比甲少百分之几(甲-乙)÷甲
3、求一个数的百分之几是多少一个数(单位“1”)×百分率
4、已知一个数的百分之几是多少,求这个数对应量÷百分率=一个数(单位“1”)
5、百分数应用题型分类
(1)一个数是另一个数的百分之几
①甲是50,乙是40,甲是乙的百分之几?(50是40的百分之几?)50÷40=125%
②甲是50,乙是40,乙是甲的百分之几?(40是50的百分之几?)40÷50=80%
③乙是40,甲是乙的125%,甲数是多少?(40的125%是多少?)40×125%=50
④甲是50,乙是甲的80%,乙数是多少?(50的80%是多少?)50×80%=40
⑤乙是40,乙是甲的80%,甲数是多少?(一个数的80%是40,这个数是多少?)40÷80%=50
⑥甲是50,甲是乙的125%,乙数是多少?(一个数的125%是50,这个数是多少?)50÷125%=40
(2)一个数比另一个数多(少)百分之几
①甲是50,乙是40,甲比乙多百分之几?(50比40多百分之几?)(50-40)÷40=25%
②甲是50,乙是40,乙比甲少百分之几?(40比50少百分之几?)(50-40)÷50=20%
③甲比乙多25%,多10,乙是多少?10÷25%=40
④甲比乙多25%,多10,甲是多少?10÷25%+10=50
⑤乙比甲少20%,少10,甲是多少?10÷20%=50
⑥乙比甲少20%,少10,乙是多少?10÷20%-10=40
(3)比一个数多(少)百分之几的数
①乙是40,甲比乙多25%,甲数是多少?(什么数比40多25%?)40×(1+25%)=50
②甲是50,乙比甲少20%,乙数是多少?(什么数比50多25%?)50×(1-20%)=40
③乙是40,比甲少20%,甲数是多少?(40比什么数少20%?)40÷(1-20%)=50
④甲是50,比乙多25%,乙数是多少?(50比什么数多25%?)40÷(1+25%)=40
第七单元、扇形统计图
1、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数量占总数的百分比,因此也叫百分比图。
2、常用统计图的优点:
(1)条形统计图直观显示每个数量的多少。
(2)折线统计图不仅直观显示数量的增减变化,还可清晰看出各个数量的多少。
(3)扇形统计图直观显示部分和总量的关系(显示部分占总量的百分比)。