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一、二元一次方程组
1、概念:二元一次方程:含有两个未知数,且未知数的指数(即次数)都是1的方程,叫二元一次方程。
二元一次方程组:两个二元一次方程(或一个是一元一次方程,另一个是二元一次方程;两个都是一元一次方程;但未知数个数仍为两个)合在一起,就组成了二元一次方程组。
2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解:
使二元一次方程左右两边的值相等(即等式成立)的两个未知数的值,叫二元一次方程的解。
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。
注:①、因为二元一次方程含有两个未知数,所以,二元一次方程的解是一组(对)数,用大括号联立;②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的,而是有许多组;③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解,一般地,只有唯一的一组,但也可能有无数组或无解(即无公共解)。
2、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数:
用含X的代数式表示Y,就是先把X看成已知数,把Y看成未知数;用含Y的代数式表示X,则相当于把Y看成已知数,把X看成未知数。
例:在方程2x+3y=18中,用含x的代数式表示y为:___________,用含y的代数式表示x为:____________。
3、根据二元一次方程的定义求字母系数的值:
要抓住两个方面:①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0
例:已知方程(a-2)x^(/a/-1)–(b+5)y^(b^2-24)=3是关于x、y的二元一次方程,求a、b的值。
4、求二元一次方程的整数解
例:求二元一次方程3x+4y=18的正整数解。
思路:利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法,可以求出方程有正整数解时x、y的取值范围,然后再进一步确定解。
解:用含x的代数式表示y:y=9/2–(3/4)x用含y的代数式表示x:x=6–(4/3)y
因为是求正整数解,则:9/2–(3/4)x>0,6–(4/3)y>0
所以,0<x<6,0<y<9/2
所以,当y=1时,x=6–4/3=14/3,舍去;当y=2时,x=6–8/3=10/3,舍去;
当y=3时,x=6–12/3=2,符合;当y=4时,x=6–16/3=2/3,舍去。
x=2
y=3
所以,3x+4y=18的正整数解为:
二元一次方程组的解法——消元(整体思想就是:消去未知数,化“二元”为“一元”)
(高频考点)
1、代入消元法:由二元一次方程组中的一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。
注:代入法解二元一次方程组的一般步骤为:
①、从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来;
②、将变形后的关系式代入另一个方程(不能代入原来的方程哦!),消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
③、解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式(或原来的方程组中任一个方程)中,求出另一个未知数的值;
⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,就是方程组的解。
2、加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等(或利用等式的性质可变为相反或相等)时,将两个方程的左右两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫加减消元法,简称加减法。
注:加减法解二元一次方程组的一般步骤为:
①、方程组的两个方程中,如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时,就根据等式的性质,用适当的数乘以方程的两边(注意,左右两边每一项都要乘以这个数),使同一未知数前的系数相反或相等;
②、把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
③、解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;
④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,就是方程组的解。
例:解方程组:
x/2+y/3=13/2
x/3–y/4=3/2
①、4y –(2y+x+16)/2=-6x
2y+3x=7–2x-y
②、
3、用换元法解方程组:
根据题目的特点,利用换元法简化求解,同时应注意换元法求出的解要代回关系式中,求出方程组中未知数的解。
5/(x+1)+4/(y-2)=2
7/(x+1)–3/(y-2)=13/20
例:1、解方程组:
2(x+2)-3(y-1)=13
3(x+2)+5(y-1)=
a=
b=
2a-3b=13
3a+5b=
2、已知方程组的解是,则方程组的解是:()
x=
y=
x=
y=
x=
y=
x=
y=
A、B、C、D、
4、用整体代入法解方程组:
2x-y=6①
(x+2y)(4x–2y)=192②
例:解方程组:
x=
y=
2x-y=6
x+2y=16
解:将②变形为:(x+2y)×2(2x–y)=192③,把①代入③得:(x+2y)×2×6=192,即x+2y=16④
再把①和④组成新的方程组:解得:
5、另外几种类型的例题:
(1)、若︱m+n–5︱+(2m+3n-5)²=0,求(m-n)²的值。
(2)、已知代数式x²+ax+b,当x=-1时,它的值是5,当x=1时,它的值是-1,求当x=2时,代数式的值。
2x-y=k
3x+y=k+1
3x-5y=2m
2x+7y=m-18
(3)、已知方程组的解x、y互为相反数,求m、x以及y的值。
(4)、关于x、y的方程组的解,也是方程2x+y=3的解,求k的值。
三、实际问题与二元一次方程组(高频考点、历年中考命题的重点和热点)
1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为:审题并找出数量关系式—>设元(设未知数)—>根据数量关系式列出方程组—>解方程组—>检验并作答(注意:此步骤不要忘记)
2、列方程组解应用题的常见题型:
(1)和差倍分问题:解这类问题的基本等量关系式是:较大量-较小量=相差量,总量=倍数×倍量;
(2)产品配套问题:解这类题的基本等量关系式是:加工总量成比例;
(3)速度问题:解这类问题的基本关系式是:路程=速度×时间,包括相遇问题、追及问题等;
(4)航速问题:①、顺流(风):航速=静水(无风)时的速度+水(风)速;
②、逆流(风):航速=静水(无风)时的速度–水(风)速;
(5)工程问题:解这类问题的基本关系式是:工作总量=工作效率×工作时间,(有时需把工作总量看作1);
(6)增长率问题:解这类问题的基本关系式是:原量×(1+增长率)=增长后的量,原量×(1-减少率)=减少后的量;
(7)盈亏问题:解这类问题的关键是从盈(过剩)、亏(不足)两个角度来把握事物的总量;
(8)数字问题:解这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示;
(9)几何问题:解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式;
(10)年龄问题:解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。
例1:一批水果运往某地,第一批360吨,需用6节火车车厢加上15辆汽车,第二批440吨,需用8节火车车厢加上10辆汽车,求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨?
例2:甲、乙两物体分别在周长为400米的环形轨道上运动,已知它们同时从一处背向出发,25秒后相遇,若甲物体先从该处出发,半分钟后乙物体再从该处同向出发追赶甲物体,则再过3分钟后才赶上甲,假设甲、乙两物体的速度均不变,求甲、乙两物体的速度。
例3:甲、乙二人分别以均匀速度在周长为600米的圆形轨道上运动,甲的速度比乙大,当二人反向运动时,每150秒相遇一次,当二人同向运动时,每10分钟相遇一次,求二人的速度。
例4:有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3:7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4:1,今要得到酒精与水的比是3:2的酒精溶液50kg,求甲、乙两种溶液各取多少kg?
例5:一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成,如果1立方米木料可制成方桌桌面50个,或制作桌腿300条,现有5立方米木料,请问,要用多少木料做桌面,多少木料做桌腿,能使桌面恰好配套?此时,可以制成多少张方桌?
例6:某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75千米的速度行驶,则可提前24分钟到达乙地,求甲、乙两地间的距离。
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入资金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
例7:某农场有300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物,已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入资金如右表:
已知该农场计划投入资金67万元,应该怎样安排这三种农作物的种植面积才能使所有职工都有工作而且投入资金正好够用?
例8:某酒店的客房有三人间和两人间两种,三人间每人每天25元,两人间每人每天35元,一个50人的旅游团到该酒店租了若干间客房,且每间客房恰好住满,一天共花去1510元,求两种客房各租了多少间?
年级
捐款数额
(元)
捐助贫困中学生人数
(名)
捐助贫困小学生人数
(名)
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
例9:某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助,资助一名中学生的学习费用需要a元,资助一名小学生的学习费用需要b元。某校学生积极捐款,初中各年级学生捐款数额与使用这些捐款恰好资助受捐助中学生和小学生人数的部分情况如右表:
(1)、求a、b的值;
(2)初三年级的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用,请分别计算出初三年级的捐款所资助的中学生和小学生人数。
四、三元一次方程组的解法
1、概念:由三个方程组成方程组,且方程组中共含有三个未知数,每个方程中含有的未知数的次数都是1次,这样的方程组叫三元一次方程组。
注:三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程,只需满足“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。
2、解三元一次方程组的基本思想:
一元一次
方程
消元
————————>
(代入法、加减法)
二元一次
方程组
消元
————————>
(代入法、加减法)
三元一次
方程组
3x+4y+z=14
x+5y+2z=17
2x+2y-z=3
3x+4z=7
2x+3y+z=9
5x–9y+7z=8
例1:解方程组
例2:在y=ax²+bx+c中,当x=1时,y=0;x=2时,y=3;x=3时,y=28,求a、b、c的值。当x=-1时,y的值是多少?
例3:甲、乙、丙三数之和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的和比乙数大18,求这三个数。
例4:,其中有一段上坡路,一段平路,一段下坡路,如果保持上坡路每小时行3千米,平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米,那么小明从家到学校需要1小时,从学校回家只需要44分钟。求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米?
相交线与平行线
平面内,点与直线之间的位置关系分为两种:①点在线上②点在线外
同一平面内,两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种:①相交②平行
一、相交线
1、两条直线相交,有且只有一个交点。(反之,若两条直线只有一个交点,则这两条直线相交。)
两条直线相交,产生邻补角和对顶角的概念:
邻补角:两角共一边,另一边互为反向延长线。邻补角互补。要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。
对顶角:两角共顶点,一角两边分别为另一角两边的反向延长线。对顶角相等。
注:①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。反过来亦成立。
②、表述邻补角、对顶角时,要注意相对性,即“互为”,要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。例如:
判断对错:因为∠ABC+∠DBC=180°,所以∠DBC是邻补角。()
相等的两个角互为对顶角。()
2、垂直是两直线相交的特殊情况。注意:两直线垂直,是互相垂直,即:若线a垂直线b,则线b垂直线a。
垂足:两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时,一定要用直角符号表示出来。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(注:这一点可以在已知直线上,也可以在已知直线外)
3、点到直线的距离。
垂线段:过线外一点,作已知线的垂线,这点到垂足之间的线段叫垂线段。
垂线与垂线段:垂线是一条直线,而垂线段是一条线段,是垂线的一部分。
垂线段最短:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。(或说直角三角形中,斜边大于直角边。)
点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫这点到直线的距离。注:距离指的是垂线段的长度,而不是这条垂线段的本身。所以,如果在判断时,若没有“长度”两字,则是错误的。
4、同位角、内错角、同旁内角
三线六面八角:平面内,两条直线被第三条直线所截,将平面分成了六个部分,形成八个角,其中有:4对同位角,2对内错角和2对同旁内角。(必考)
注意:要熟练地认识并找出这三种角:①根据三种角的概念来区分②借助模型来区分,即:同位角——F型,内错角——Z型,同旁内角——U型。
特别注意:①三角形的三个内角均互为同旁内角;
②同位角、内错角、同旁内角的称呼并不一定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的,这两条直线也可以不平行,也同样的有同位角、内错角、同旁内角。
5、几何计数:(拓展)
①平面内n条直线两两相交,共有n(n–1)组对顶角。(或写成n^2–n组)
②平面内n条直线两两相交,最多有n(n–1)/2个交点。(或写成(n^2–n)/2个)
③平面内n条直线两两相交,最多把平面分割成[n(n+1)/2]+1个面。
④当平面内n个点中任意三点均不共线时,一共可以作n(n–1)/2条直线。
回顾:1、一条直线上n个点之间,一共有n(n–1)/2条线段;
2、若从一个点引出n条射线,则一共有n(n–1)/2个角。
二、平行线(高频考点)
同一平面内,两条直线若没有公共点(即交点),那么这两条直线平行。注:平行线永不相交。
1、平行公理:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。(注:这一点是在直线外)
推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。(或叫平行线的传递性)
2、平行线的画法:借助三角板和直尺。具体略。(此基本作图方法一定要掌握,多练行线的判定:①同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行。
注意:是先看角如何,再判断两直线是否平行,前提是“角相等/互补”。
一个重要结论:同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4、平行线的性质:①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行,内错角相等;
③两直线平行,同旁内角互补。
注意:是先有两直线平行,才有以上的性质,前提是“线平行”。
一个结论:平行线间的距离处处相等。例如:应用于说明矩形(包括长方形、正方形)的对边相等,还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形,或以下底为底的两等面积的三角形。(因为梯形的上底与下底平行,平行线间的高相等,所以,就有等底等高的三角形。)
※此章难度最大就在如何利用平行线的判定或性质来进行解析几何的初步推理,要在熟练掌握好基本知识点的基础上,学会逻辑推理,既要条理清晰,又要简洁明了。
5、命题
判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分,可写成“如果……那么……”的形式。
例如:“明天可能下雨。”这句语句______命题,而“今天很热,明天可能下雨。”这句语句_____命题。(填“是”或“不是”)
命题分为真命题与假命题,真命题指题设成立,结论也成立的命题(或说正确的命题)。假命题指题设成立,但结论不一定或根本不成立的命题(或说错误的命题)。
逆命题:将一个命题的题设与结论互换位置之后,形成新的命题,就叫原命题的逆命题。
注:原命题是真命题,其逆命题不一定仍为真命题,同理,原命题为假命题,其逆命题也不一定为假命题。
例如:“对顶角相等”是个真命题,但其逆命题“___________________________________”却是个假命题。
不论是真命题还是假命题,都要学会能非常熟练地把一个命题写成“如果……那么……”的形式。例:把
“等角的补角相等”写成“如果……那么……”的形式为:_____________________________________________________。
再例:把“三角形的内角和等于180度。”写成包含题设与结论的形式:__________________________________。
三、平移
概念:把图形的整体沿着某一方向移动一定的距离,得到一个新的图形,这种图形的移动,叫平移。
确定平移,关键是要弄清平移的方向(并不一定是水平移动或垂直移动哦)与平移的距离。如果是斜着平移的,则需把由起始位置至最终位置拆分为先水平移动,再上下移动,或拆分为先上下移动,再水平移动。当然,如果是在格点图内平移,则可利用已知点的平移距离是某一矩形的对角线这一特点来对应完成其它顶点的平移。
特征:①发生平移时,新图形与原图形的形状、大小完全相同(即:对应线段、对应角均相等);
②对应点之间的线段互相平行(或在同一直线上)且相等,均等于平移距离。
画法:掌握平移方向与平移距离,利用对应点(一般指图形的顶点)之间连线段平行、连线段相等性质描出原图形顶点的对应点,再依次连接,就形成平移后的新图形。
整式的乘法(高频考点、以选择、填空为主,有时与其他知识综合出现在解答题种,属中档题)
1、同底数幂的乘法法则:(都是正整数)(重点)
2、同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如:
3、幂的乘方法则:(都是正整数)。幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:
幂的乘方法则可以逆用:即如:
积的乘方法则:(是正整数)。积的乘方,等于各因数乘方的积。
如:(=
同底数幂的除法法则:(都是正整数,且。同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:
零指数和负指数;,即任何不等于零的数的零次方等于1。
(是正整数),即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
如:
8、科学记数法:如:=(第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方)(选择、填空)
9、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
如:
10、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即(都是单项式)
注意:
①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。]
如:
11、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。如:
平方差公式:注意平方差公式展开只有两项
公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。