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第十二章:二次根式
:一般地,:(1)若这个条件不成立,则不是二次根式;(2)是一个重要的非负数,即;≥0.
:(1),(2);注意使用.
:,积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;注意:本章中的公式,对字母的取值范围一般都有要求.
:.
:
(1)利用近似值比大小;
(2)把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小;
(3)分别平方,然后比大小.
:,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
:
(1);
(2);
(3)分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化;具体方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式,使分母变为整式.
:,,,它们也叫互为有理化因式.
:
(1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式,①被开方数的因数是整数,因式是整式,②被开方数中不含能开的尽的因数或因式;
(2)最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数,字母因式次数低于2,且不含分母;
(3)化简二次根式时,往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;
(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
:(1)明显条件题;(2)隐含条件题;(3)讨论条件题.
:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式.
:
(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算,以前学过的,在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用;
(2)二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简,例如:化为同类二次根式才能合并;除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便;使用乘法公式等.
四边形几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
:
(1)四边形的内角和等于360°;
(2)四边形的外角和等于360°.
几何表达式举例:
(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
∴……………
(2)∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°
∴……………
:
(1)n边形的内角和等于(n-2)180°;
(2)任意多边形的外角和等于360°.
几何表达式举例:
略
:
因为ABCD是平行四边形Þ
几何表达式举例:
(1)∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CDAD∥BC
(2)∵ABCD是平行四边形
∴AB=CDAD=BC
(3)∵ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠ADC
∠DAB=∠BCD
(4)∵ABCD是平行四边形
∴OA=OCOB=OD
(5)∵ABCD是平行四边形
∴∠CDA+∠BAD=180°
:
.
几何表达式举例:
(1)∵AB∥CDAD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)∵AB=CDAD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(3)……………
:
因为ABCD是矩形Þ
(2) (1)(3)
几何表达式举例:
(1)……………
(2)∵ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
(3)∵ABCD是矩形
∴AC=BD
:
Þ四边形ABCD是矩形.
(1)(2) (3)
几何表达式举例:
(1)∵ABCD是平行四边形
又∵∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
(2)∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形
(3)……………
:
因为ABCD是菱形
Þ
几何表达式举例:
(1)……………
(2)∵ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
(3)∵ABCD是菱形
∴AC⊥BD∠ADB=∠CDB
:
Þ四边形四边形ABCD是菱形.
几何表达式举例:
(1)∵ABCD是平行四边形
∵DA=DC
∴四边形ABCD是菱形
(2)∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
(3)∵ABCD是平行四边形
∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
:
因为ABCD是正方形
Þ
(1)(2)(3)
几何表达式举例:
(1)……………
(2)∵ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
(3)∵ABCD是正方形
∴AC=BDAC⊥BD
∴……………
:
Þ四边形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
几何表达式举例:
(1)∵ABCD是平行四边形
又∵AD=AB∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形
(2)∵ABCD是菱形
又∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形
:
几何表达式举例:
(1)∵ABCD是等腰梯形
因为ABCD是等腰梯形Þ
∴AD∥BCAB=CD
(2)∵ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠DCB
∠BAD=∠CDA
(3)∵ABCD是等腰梯形
∴AC=BD
:
Þ四边形ABCD是等腰梯形
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD
∴ABCD四边形是等腰梯形
几何表达式举例:
(1)∵ABCD是梯形且AD∥BC
又∵AB=CD
∴四边形ABCD是等腰梯形
(2)∵ABCD是梯形且AD∥BC
又∵∠ABC=∠DCB
∴四边形ABCD是等腰梯形
:
※(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等;
(2)经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰;(如图)
(3)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.(如图)
(2) (3)
几何表达式举例:
(1)……………
(2)∵ABCD是梯形且AB∥CD
又∵DE=EAEF∥AB
∴CF=FB
(3)∵AD=DB
又∵DE∥BC
∴AE=EC
:
三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.
几何表达式举例:
∵AD=DBAE=EC
∴DE∥BC且DE=BC
:
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
几何表达式举例:
∵ABCD是梯形且AB∥CD
又∵DE=EACF=FB
∴EF∥AB∥CD
且EF=(AB+CD)
几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一基本概念:四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线.
二定理:中心对称的有关定理
※.
※,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
※,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.
三公式:
=ab=ch.(a、b为菱形的对角线,c为菱形的边长,h为c边上的高)
=,h为a上的高)
=(a+b)h=Lh.(a、b为梯形的底,h为梯形的高,L为梯形的中位线)
四常识:
※,则对角线条数公式是:.
“出一对全等,一对相似”.
:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
,仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……;仅是中心对称图形的有:平行四边形……;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意:线段有两条对称轴.
※:
※:
如图:若ABCD是平行四边形,且AE⊥BC,AF⊥CD那么:
AE·BC=AF·CD.
如图:若ΔABC中,∠ACB=90°,且CD⊥AB,那么:
AC·BC=CD·AB.
如图:若ABCD是菱形,
且BE⊥AD,那么:
AC·BD=2BE·AD.
如图:若ΔABC中,且BE⊥AC,AD⊥BC,那么:
AD·BC=BE·AC.
如图:若ABCD是梯形,E、F是两腰的中点,且AG⊥BC,那么:
EF·AG=(AD+BC)AG.
如图:
.
如图:若AD∥BC,那么:
(1)SΔABC=SΔBDC;
(2)SΔABD=SΔACD.