文档介绍：用函数观点看一元二次方程
学习目标
1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法。
2、能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式,体会二次函数解析式之间的转化。
3、从学习过程中体会学习数学知识的价值,从而提高学习数学知识的兴趣。
教学过程
一、合作交流例题精析
1、一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,所以,我们把________________________叫做二次函数的一般式。
例1 已知二次函数的图象过(1,0),(-1,-4)和(0,-3)三点,求这个二次函数解析式。
小结:此题是典型的根据三点坐标求其解析式,关键是:(1)熟悉待定系数法;(2)点在函数图象上时,点的坐标满足此函数的解析式;(3)会解简单的三元一次方程组。
2、二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成:y=a(x+h)2+k,顶点是(-h,k)。配方: y=ax2+bx+c=__________________=___________________=__________________=a(x+)2+。对称轴是x=-,顶点坐标是(-,), h=-,k=, 所以,我们把_____________叫做二次函数的顶点式。
例2 已知二次函数的图象经过原点,且当x=1时,y有最小值-1, 求这个二次函数的解析式。
小结:此题利用顶点式求解较易,用一般式也可以求出,但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试,比较它们的优劣。
3、一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax
2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以,已知抛物线与x轴的两个交点坐标时,可选用二次函数的交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1 ,x2 为两交点的横坐标。
例3 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1,且与y轴交点为(0,-3),求这个二次函数解析式。
想一想:还有其它方法吗?
二、应用迁移巩固提高
1、根据下列条件求二次函数解析式
(1)已知一个二次函数的图象经过了点A(0,-1),B(1,0),C(-1,2);
(2)已知抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6);
(3)二次函数图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(4,10);
(4)已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4;
3
2
(5)已知二次函数的图象经过一次函数y=-—x+3的图象与x轴、y轴的交点,且过(1,1);
(6)已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x轴的两交点间的距离为8;
2、如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)(0,4),求这个抛物线的解析式。
三、总结反思突破重点
1、二次函数解析式常用的有三种形式:
(1)一般式:_______________ (a≠0)
(2)顶点式:_______________ (a≠0)
(3)交点式:_______________ (a≠0)
2、本节课是用待定系数法求函数解析式,应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式,要让学生熟练掌握配方法,并由此确定二次函数的顶点、对称轴,并能结合图象分析二次函数的有关性质。(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式。(2)当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式。(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
四、布置作业拓展升华
1、已知二次函数的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么这个二次函数的解析式是_______________。
2、已知二次函数的图象顶点是(-1,2),且经过(1,-3),那么这个二次函数的解析式是_______________。
3、已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点是(5,-2),那么这个二次函数解析式是_______________。
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的解析式是_______________。
5、已知二次函数图象与x轴交点(2,0)(-1,0)与y轴交点是(0,-1),那么这个二次函数的解析式是_______________。
6、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,它们的横坐标为-1和3,与y轴的交点