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知识点:
一、平面直角坐标系
1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。
2、不同位置点的坐标的特征:
(1)各象限内点的坐标有如下特征:
点P(x,y)在第一象限x>0,y>0;
点P(x,y)在第二象限x<0,y>0;
点P(x,y)在第三象限x<0,y<0;
点P(x,y)在第四象限x>0,y<0。
(2)坐标轴上的点有如下特征:
点P(x,y)在x轴上y为0,x为任意实数。
点P(x,y)在y轴上x为0,y为任意实数。
(x,y)坐标的几何意义:
(1)点P(x,y)到x轴的距离是|y|;
(2)点P(x,y)到y袖的距离是|x|;
(3)点P(x,y)到原点的距离是
、原点对称的点的坐标的特征:
(1)点P(a,b)关于x轴的对称点是;
(2)点P(a,b)关于x轴的对称点是;
(3)点P(a,b)关于原点的对称点是;
二、函数的概念
1、常量和变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量。
2、函数:一般地,设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
(1)自变量取值范围的确是:
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数,自变量取值范围是全体实数。
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数,自变量取值范围是使分母不为0的实数。
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数,自变量取值范围是使被开方数非负的实数。
注意:在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,还必须使实际问题有意义。
(2)函数值:给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。
(3)函数的表示方法:①解析法;②列表法;③图像法
(4)由函数的解析式作函数的图像,一般步骤是:①列表;②描点;③连线
三、几种特殊的函数
1、一次函数
直线位置与k,b的关系:
(1)k>0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角;
(2)k<0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角;
(3)b>0直线与y轴交点在x轴的上方;
(4)b=0直线过原点;
(5)b<0直线与y轴交点在x轴的下方;
2、二次函数
抛物线位置与a,b,c的关系:
(1)a决定抛物线的开口方向
(2)c决定抛物线与y轴交点的位置:
c>0图像与y轴交点在x轴上方;c=0图像过原点;c<0图像与y轴交点在x轴下方;
(3)a,b决定抛物线对称轴的位置:a,b同号,对称轴在y轴左侧;b=0,对称轴是y轴;a,b异号。对称轴在y轴右侧;
3、反比例函数:
4、正比例函数与反比例函数的对照表:
例题:
例1、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点P(m,4),已知点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍.
⑴求点P的坐标.;
⑵求正比例函数、反比例函数的解析式。
分析:由点P到x轴的距离是到y轴的距离2倍可知:2|m|=4,易求出点P的坐标,再利用待定系数法可求出这正、反比例函数的解析式。
例2、已知a,b是常数,且y+b与x+:y是x的一次函数.
分析:应写出y+b与x+a成正比例的表达式,然后判断所得结果是否符合一次函数定义.
例3、填空:如果直线方程ax+by+c=0中,a<0,b<0且bc<0,则此直线经过第________象限.
分析:先把ax+by+c=<0,b<0,所以,又bc<0,即<0,故->=kx+l中,k=-<0,l=->0,此直线与y轴的交点(0,-),所以此直线过第一、二、四象限.
例4、把反比例函数y=与二次函数y=kx2(k≠0)画在同一个坐标系里,正确的是().
答:选(D).这两个函数式中的k的正、负号应相同(图13-110).
例5、画出二次函数y=x2-6x+7的图象,根据图象回答下列问题:
(1)当x=-1,1,3时y的值是多少?
(2)当y=2时,对应的x值是多少?
(3)当x>3时,随x值的增大y的值怎样变化?
(4)当x的值由3增加1时,对应的y值增加多少?
分析:要画出这个二次函数的图象,首先用配方法把y=x2-6x+7变形为y=(x-3)2-2,确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标,然后列表、描点、画图.
例6、拖拉机开始工作时,油箱有油45升,如果每小时耗油6升.
(1)求油箱中的余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式;
(2)画出函数的图象.
答:(1)Q=45-6t.
(2):这是实际问题,图象只能由自变量t的取值范围0≤t≤,而不是直线.