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勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
例如图1,直角三角形ABC的周长为24,且AB:BC=5:3,则AC=().
(A)6(B)8(C)10(D)12
例直角三角形两直角边分别为5、12,则这个直角三角形斜边上的高为().
(A)6(B)(C)(D)
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
例若三角形三边长为a、b、c,且满足等式,则此三角形是
(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等腰直角三角形(D)直角三角形
3、勾股数:满足的三个正整数,称为勾股数。
例下列各组中,不能构成直角三角形的是().
(A)9,12,15(B)15,32,39(C)16,30,34(D)9,40,41
实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,…等;
(4)某些三角函数值,如sin60o等
例下列命题中,正确的是()。
A、两个无理数的和是无理数B、两个无理数的积是实数
C、无理数是开方开不尽的数D、两个有理数的商有可能是无理数
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若
|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
例绝对值小于π的整数有__________。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:记作“”,读作根号a。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正数a的平方根记做“”,读作“正、负根号a”。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
注意的双重非负性:
0
例若x,y都是实数,且,则xy的值()。
A、0B、C、2D、不能确定
3、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。
表示方法:记作
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
例=________,=_________。
例下列说法中,错误的是()。
A、4的算术平方根是2B、的平方根是±3
C、8的立方根是±2 D、立方根等于-1的实数是-1
例代数式,,,,中一定是正数的有()。
A、1个B、2个C、3个D、4个
例有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身,这个数是()。
A、-1B、1C、0D、±1
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:设a、b是两负实数,则。
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、性质:
(1)
(2)
(3)()
(4)()
3、运算结果若含有“”形式,必须满足:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例计算的值是()。
A、1B、±1C、2D、7
六、实数的运算
(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
例已知,求7(x+y)-20的立方根。
例若,求3x+y的值。
图形的平移与旋转
一、平移
1、定义
在平面内,将一个图形整体沿某方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
2、性质
平移前后两个图形是全等图形,对应点连线平行且相等(即为平移的距离),对应线段平行且相等,对应角相等。
例将图形平移,下列结论错误的是()
二、旋转
1、定义
在平面内,将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
旋转前后两个图形是全等图形,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
例如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连结BE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90得到△DCF,连结EF,若∠BEC=60,则∠EFD的度数为()
A、10B、15C、20D、25
例下列说法正确的是()
,而旋转则改变图形的形状和大小
,也可以向某方向旋转一定距离
例在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=900,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用旋转图形的方法求四边形ABCD的面积.
D
C
AEB
┌
┌
四边形性质探索
一、四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内,由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理:四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理:四边形的外角和等于360°。
推论:多边形的内角和定理:n边形的内角和等于180°;
多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于360°。
4、设多边形的边数为n,则多边形的对角线共有条。从n边形的一个顶点出发能引(n-3)条对角线,将n边形分成(n-2)个三角形。
例一幅美丽的图案,在某个顶点处由四个边长相等的正多边形密铺而成,其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形,则另外一个是()
(A)正三角形 (B)正方形 (C)正五边形 (D)正六边形
二、平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等。
(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等
(3)平行四边形的对角线互相平分。
(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。
相关结论:
(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
(2)夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形
(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S平行四边形=底×高=ah
例如图1,□ABCD的周长是28cm,△ABC的周长是22cm,则AC的长为()
(A)6cm (B)12cm (C)4cm (D)8cm
例平行四边形的两邻边分别为3、4,那么其对角线必()
(A)大于1 (B)小于7(C)大于1且小于7(D)小于7或大于1
三、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)矩形的对边平行且相等
(2)矩形的四个角都是直角
(3)矩形的对角线相等且互相平分
(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
例如图,在矩形ABCD中,F是BC边上的一点,AF的延长线交DC的延长线于G,DE⊥AG于E,且DE=DC,根据上述条件,请你在图中找出一对全等三角形,并说明你的结论。
四、菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(1)菱形的四条边相等,对边平行
(2)菱形的邻角互补,对角相等
(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角
(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。