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简易逻辑
1、四种命题:原命题:“若,则”逆命题:“若,则”
否命题:“若,则”逆否命题:“若,则”
四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
四种命题的真假性:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
假
假
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系
2、若,则是的充分条件,是的必要条件.
若,则是的充要条件(充分必要条件).
3、逻辑联结词:⑴且(and):命题形式;⑵或(or):命题形式;
⑶非(not):命题形式.
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
数列
一、等差、等比数列的有关知识
等差数列
等比数列
定义
常数
的常数
通项公式
①
②
③叠加公式
①
②
③叠乘:
前n项和
中项
A为a、b的等差中项
G为a、b的等比中项
1、若是等差数列,且(、、、),则;若是等差数列,且(、、),则.
2、若是等比数列,且(、、、),则;若是等比数列,且(、、),则.
不等式
1、;;.
2、不等式的性质:①;②;③
;
④,;⑤;
⑥;⑦;
⑧.
3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两个相异实数根
有两个相等实数根
没有实数根
一元二次不等式的解集
4、设、是两个正数,则称为正数、的算术平均数,称为正数、的几何平均数.
5、均值不等式定理:若,,则,即.
6、常用的基本不等式:①;②;
③;④.
7、极值定理:设、都为正数,则有
⑴若(和为定值),则当时,积取得最大值.
⑵若(积为定值),则当时,和取得最小值.
导数及其应用
1、函数从到的平均变化率:
2、导数定义:在点处的导数记作;.
3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.
4、常见函数的导数公式:
①;②;③;④;
⑤;⑥;⑦;⑧
5、导数运算法则:
;
;
.
6、在某个区间内,若,则函数在这个区间内单调递增;
若,则函数在这个区间内单调递减.
7、求函数的极值的方法是::
如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
8、求函数在上的最大值与最小值的步骤是:
求函数在内的极值;
将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。
复数
:
(1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0;
(2)z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
(3)z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;
(4)a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:
(1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;
(2)=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(3)z1÷z2=(z2≠0);
:
(1);⑷
(2)性质:;
(3)。
:(1)
:⑴;⑵;⑶;⑷。
:⑴;⑵;⑶;⑷
三角
1、正弦定理:在中,、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径,则有.
2、正弦定理的变形公式:①,,;
②,,;③;
④.
3、三角形面积公式:.
4、余弦定理:在中,有,,
.
5、余弦定理的推论:,,.
6、设、、是的角、、的对边,则:①若,则;
②若,则;③若,则.
平面解析几何
圆锥曲线
一、椭圆
1、平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.
即:。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
2、椭圆的几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
准线方程
二、双曲线
1、平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于):。
这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.
2、双曲线的几何性质:
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或,
或,
顶点
、
、
轴长
虚轴的长实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称,关于原点中心对称
离心率
准线方程
渐近线方程
3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
三、抛物线
1、,定直线称为抛物线的准线.
2、抛物线的几何性质:
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即.
参数方程
1、概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值,由这个方程所确定的点都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2、圆的参数方程可表示为.