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〖知识要点〗
一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。定义域是全体实数,图像是抛物线。
是二次函数的“一般式”。
特点:
自变量x最高次数是2,②a≠0③整式
:()的图像性质:
越大抛物线的开口越小
函数
图像
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性
最值
〖典型例题〗
考点一:二次函数定义
例1.(1)圆的半径是xcm,圆的面积为ycm²,写出y与x之间的函数关系式;
(2)用总长为60m的篱笆围成矩形场地,写出场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系式
例2.(1)下列函数中,是二次函数的是.
①y=x2-4x+1;②y=2x2; ③y=2x2+4x; ④y=-3x;
⑤y=-2x-1; ⑥y=mx2+nx+p; ⑦y=; ⑧y=-5x.
(2)若y=(m+1)x是二次函数,则m=()
.—1C.-
(3)函数的自变量的取值范围是;
(4)已知二次函数,当x=1时,y=3,则其表达式为;
(5)已知二次函数,当x=________________时,函数值y为1.
考点二:()的图像性质
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
观察图象,你发现了:
解析式
图形形状
开口方向
对称轴
位置
顶点坐标
增减性
最值
例4.(1)函数y=-x2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______,顶点是________,
顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值。
函数y=x2的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.
(2).关于,,y=-3x2的图像,开口最大的是.
例5已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线;(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
例6已知二次函数(1)当m取何值时它的图象开口向上。(2)当x取何值时y随x的增大而增大。
=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点,已知点A的横坐标是3,求A、B两点坐标及抛物线的函数关系式.
〖考点训练〗
1、已知抛物线y=ax2经过点A(-3,9),那么a=,它的开口方向,对称轴是,顶点坐标是,它的图象有最点,当y=6时,x=.
2、二次函数y=-x2的图象(-3≤x≤-1),当x=时,其最大值是;当x=,其最小值是
3、已知抛物线y=x2与直线y=kx-2的一个交点为(-2,a),则k=,a=,另一个交点坐标为.
4、同一坐标系中,函数y=x2与y=-x2的图象关于对称,也可以认为y=-x2是函数y=x2的图象绕旋转得到.
5、若二次函数y=ax2(a≠0),图象过点P(2,a2),则函数表达式为.
6、已知a<-1,点(a-1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,判断y1、y2、y3的大小关系?
7、若对于任何实数X,二次函数y=(2m-4)x2的值总是非负数,则m的范围是__________________
8、下列说法错误的是()
=x²,当x>0时,y随x的增大而增大
=-x²,当x=0时,y有最大值,最大值为0
=ax²(a≠0)中a越大,图像开口越小
,抛物线y=ax²(a≠0)的顶点一定是坐标原点。
9、直线y=ax与抛物线y=ax2(a≠0)()
(1,a)(0,0)
(1,a),(0,0)
二次函数的顶点式及平移法则
〖知识要点〗
:
二次函数图像的平移规律(h>0,k>0)
向上移动k个单位
y=ax²+k的图像
顶点(0,k)
y=a(x-h)²+k的图像
顶点(h,k)
y=ax²(a≠0)的图像
向右移动h个单位
y=a(x-h)²的图像
顶点(h,0)
顶点(0,0)
我们把叫做二次函数的顶点式。顶点坐标为。
:设A()、B()是抛物线上的两点,且,则抛物线的对称轴为直线。
〖典型例题〗
考点一:平移
(1)二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2的图象向平移单位得到。
(2)函数的图象,向右平移3个单位,可以得到函数________________的图象;
(3)将抛物线向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得的抛物线的解析式为______.
要得到y=-2(x+2)2-3的图象,需将抛物线y=-2x2作如下平移()
,再向上平移3个单位
,再向下平移3个单位
,再向上平移3个单位
,再向下平移3个单位
将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为_______________________.
考点二:二次函数顶点式性质
解析式
开口方向
顶点坐标
对称轴
y=(x-2)2-3
y=-(x+3)2+2
y=3(x-2)2
y=-3x2+2
例题2、(☆☆)已知,抛物线。
(1)求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(2)求抛物线与轴的交点坐标;
(3)抛物线与轴的交点坐标。
例题3、(☆☆)已知,抛物线的顶点坐标是(2,2),且抛物线经过点(0,1)。
①求的值;
②画出该函数的图象;
根据函数图象回答,当取何值时,随的增大而增大?当取何值时,随的减小而减小?
考点三:抛物线上点的对称性:
若抛物线y=a(x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为_________.
〖考点训练〗
=--4的开口向___,顶点坐标___,对称轴___,x___时,y随x的增大而增大,x___时,y随x的增大而减小。
()
A.(1,3)B.(1,3)C.(1,3)D.(1,3)
=x2+(2k-1)的顶点位于x轴上方,则K_______
=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是()
=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的大致图象是()
,=______时,y的最______值是______;当x______时,y随x增大而增大.
=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的解析式为()
=-2(x-1)2+3 =-2(x+1)2+3
=-(2x+1)2+3 =-(2x-1)2+3
(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=x2相同的解析式为()
=(x-2)2+3 =(x+2)2-3
=(x+2)2+3 =-(x+2)2+3
=(x-1)2+2的最小值为__________________.
=-b+3的对称轴是___,顶点是___。
。
确定此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;.
当x=时,抛物线有最值,是。
当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小。
求出该抛物线与x轴的交点坐标;.
求出该抛物线与y轴的交点坐标;.
该函数图象可由的图象经过怎样的平移得到的?.
,再向上平移2个单位。
写出平移后的函数解析式;
若平移后的抛物线的顶点是A,与轴的两个交点分别为B、C,求△ABC的周长。