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八年级数学上册
第十一章全等三角形
:两个三角形的形状、大小、都一样时,其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合,这两个三角形称为全等三角形。
能够完全生命的两个图形叫做全等形。
把两个全等的三角形重合到一起,生命的顶点叫做对应顶点,生命的边叫做对应边,生命的角叫做对应角。
:全等三角形的对应角相等、对应边相等。
:课本P7
全等三角形的判定:
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”);
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”);
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”);
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”简称“AAS”);
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)。
:角平分线上的点到角两边的距离相等
角平分线推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系),②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).
在学****三角形的全等时,教师应该从实际生活中的图形出发,引出全等图形进而引出全等三角形。通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维,启发他们的灵感,使学生体会到集合的真正魅力。
第十二章轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后生命的点是对应点,叫做对称点。
如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
角平分线上的点到角两边距离相等。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
作轴对称图形:P40
画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。
用坐标表示轴对称:
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)
点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)
点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y)
等腰三角形的性质:
性质1、等腰三角形的两个底角相等,(简写成“等边对等角”)
性质2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。
等边三角形的判定:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
第十三章实数第十三章实数
:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作,读作“根号a”,a叫做被开方数。0的算术平方根为0;从定义可知,只有当a≥0时,a才有算术平方根。
:一般地,如果一个数x的平方根等于a,即x2=a,那么数x就叫做a的平方根或二次方根。(一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根)。求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
(一正一负)它们互为相反数;0只有一个平方根,就是它本身;负数没有平方根。
,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。天津市一个数的立方根的运算,叫做开立方。
正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。
无限不循环小数又叫做无理数。
有理数和无理数统称实数。
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
正实数
实数0
负实数
-a,一个正实数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。P85
实数部分主要要求学生了解无理数和实数的概念,知道实数和数轴上的点一一对应,能估算无理数的大小;了解实数的运算法则及运算律,会进行实数的运算。重点是实数的意义和实数的分类;实数的运算法则及运算律。
第十四章一次函数
画函数图象的一般步骤:
一、列表(一次函数只用列出两个点即可,其他函数一般需要列出5个以上的点,所列点是自变量与其对应的函数值),二、描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应函数的值为纵坐标,描出表格中的个点,一般画一次函数只用两点),三、连线(依次用平滑曲线连接各点)。
根据题意写出函数解析式:关键找到函数与自变量之间的等量关系,列出等式,既函数解析式。
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
(自变量取a时函数值为b,则b是自变量取a的函数值)
对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。
我们看到用列表格、写式子和画图象表示一些函数,这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法。
1、正比例函数:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。
一般地,正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx。当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
在一次函数y=kx+b中:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。
2、一次函数:
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数k≠0)的函数,叫做一次函数。当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数y=kx+b(k,b是常数k≠0)具有如下性质:
当k>0时,y随着x的增大而增大;
当k<0时,y随着x的增大而减小。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。
(1)
(2)
(3)
(1)
(3)
(2)
:y=kx(k≠0),其图象是经过原点(0,0)的一条直线。
(待定系数法求函数解析式):
把两点带入函数一般式列出方程组
求出待定系数
把待定系数值再带入函数一般式,得到函数解析式
(既与x轴的交点坐标横坐标值),一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解(既两函数直线交点坐标值)
解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值。
第十五章整式的乘除与因式分解
同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
(a-b)n=-(b-a)n(n为奇数)(a-b)n=(b-a)n(n为偶数)
(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式;
②指数是1时,不要误以为没有指数;
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加;
④当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为(其中m、n、p均为正数);
⑤公式还可以逆用:(m、n均为正整数)
※:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
※2..
※,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底,
如将(-a)3化成-a3
※,但可以化成相同。
※(ab)n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零)。
※:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即
(n为正整数)。
※。
※(1).单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:
①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;
②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;
③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
※(2).单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
③在混合运算时,要注意运算顺序。
※(3).多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
②多项式相乘的结果应注意合并同类项;
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得
¤:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,
※即。
¤其结构特征是:
①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
¤:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,
¤即;
¤口决:首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
¤:
①公式左边是二项式的完全平方;
②公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
¤,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现这样的错误。
添括号法则:
如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。(添正不变号,添负各项变号,去括号法则同样)
※:同底数幂相除,底数不变,指数相减,
即(a≠0,m、n都是正数,且m>n).
※:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的;当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如,
④运算要注意运算顺序.