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北师大数学七年级上册
第一章丰富的图形世界
单元备注:
学生易错点:1、图形的展开与折叠2、“三视图”判断图形个数
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体
几何图形的组成
点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:几何体也简称体。
点动成线,线动成面,面动成体。
3、生活中的立体图形
圆柱
柱
生活中的立体图形球棱柱:三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……
(按名称分)锥圆锥
棱锥
4、棱柱及其有关概念
棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。
侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
5、正方体的平面展开图:11种
6、截一个正方体
用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图:从正面看到的图,叫做主视图。
左视图:从左面看到的图,叫做左视图。
俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。
8、多边形
由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形,叫做多边形。
从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个n边形分割成(n-2)个三角形。
弧:圆上A、B两点之间的部分叫做弧。
扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
Tips:
球体:由球面围成的(球面是曲面)
几何图形是由点、线、面构成的。
几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面;
面与面相交得到线;
线与线相交得到点。
棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线都叫做棱。
侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱,所有侧棱长都相等。
棱柱的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是长方形。
根据底面图形的边数,人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形……
长方体和正方体都是四棱柱。
圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。
圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。
设一个多边形的边数为n(n≥3,且n为整数),从一个顶点出发的对角线有(n-3)条;可以把n边形成(n-2)个三角形;这个n边形共有条对角线。
圆上两点之间的部分叫做弧,弧是一条曲线。
扇形,由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。
凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。
第二章有理数及其运算
单元备注:
数轴是新知识很多地方用到
去绝对值与绝对值的几何意义很很总要有些学生在去绝对值和绝对值几何意义做题比较容易出错(去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论”这也是贯穿初高中的一个重要数学思想)
有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分
1、有理数的分类:
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
负有理数
或整数
有理数
分数
2、相反数:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零
3、数轴:
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示
——解题时要真正掌握数形结合的思想,并能灵活运用。
4、倒数:
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立
倒数等于本身的数是1和-1
零没有倒数
5、绝对值:
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值(|a|≥0)
零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数
若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
6、有理数比较大小:
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数
数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大
两个负数,绝对值大的反而小。
7、有理数的运算:
五种运算:加、减、乘、除、乘方
有理数的运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的
运算律:
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
Tips:
数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。
任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数)
如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。(0的相反数是0)
在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。正数在原点的右边,负数在原点的左边。
绝对值的定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。
正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的数;0的绝对值是0。
0
-1
-2
-3
1
2
3
越来越大
或
绝对值的性质:
除0外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数;
互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等;
任何数的绝对值总是非负数,即|a|≥0
比较两个负数的大小,绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下:
先求出两个数负数的绝对值;
比较两个绝对值的大小;
根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。
绝对值的性质:
对任何有理数a,都有|a|≥0
若|a|=0,则|a|=0,反之亦然
若|a|=b,则a=±b
对任何有理数a,都有|a|=|-a|
有理数加法法则:
同号两数相加,取相同符号,并把绝对值相加
异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时取绝对值较大的数的符号,并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
一个数同0相加,仍得这个数
加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。
灵活运用运算律,使用运算简化,通常有下列规律:
互为相反的两个数,可以先相加
符号相同的数,可以先相加
分母相同的数,可以先相加
几个数相加能得到整数,可以先相加
有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
有理数减法运算时注意两“变”:
改变运算符号
改变减数的性质符号(变为相反数)
有理数减法运算时注意一个“不变”:被减数与减数的位置不能变换,也就是说,减法没有交换律
有理数的加减法混合运算的步骤:
写成省略加号的代数和。在一个算式中,若有减法,应由有理数的减法法则转化为加法,然后再省略加号和括号
利用加法则,加法交换律、结合律简化计算
注意:减去一个数等于加上这个数的相反数,当有减法统一成加法时,减数应变成它本身的相反数
有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘
任何数与0相乘,积仍为0
如果两个数互为倒数,则它们的乘积为1
乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用
有理数乘法运算步骤:
先确定积的符号;
求出各因数的绝对值的积。
乘积为1的两个有理数互为倒数。
零没有倒数
求分数的倒数,就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数
正数的倒数是正数,负数的倒数是负数
有理数除法法则:
两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除
0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数,否则无意义
指数
底数
幂
有理数的乘方
一个数可以看作是本身的一次方,如5=51
当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数
乘方的运算性质:
正数的任何次幂都是正数
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数
任何数的偶数次幂都是非负数
1的任何次幂都得1,0的任何次幂都得0
-1的偶次幂得1;-1的奇次幂得-1
在运算过程中,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值。
有理数混合运算法则:
先算乘方,再算乘除,最后算加减
如果有括号,先算括号里面的
第三章字母表示数
单元备注:
这章算是这册比较难的一个知识点。一是对同类项的理解二十运算。学生容易出错的地方大多在化简计算,有几点:
是化简计算过程中去括号变号
化简求值中“整体思想”的运用
化简计算中一个字母表示另个字母带入换算
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、同类项
所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
3、合并同类项法则
把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
4、去括号法则
括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。
括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
5、整式的运算
整式的加减法:去括号;合并同类项。
Tips:
代数式的概念:用运算符号(加、减、乘除、乘方、开方等)把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式
代数式中除了含有数、字母和运算符号外,还可以有括号
代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式,但等号和不等号两边的式子一般都是代数式
代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义,是实际问题的要符合实际问题的意义
代数式的书写格式:
代数式中出现乘号,通常省略不写,如vt;
数字与字母相乘时,数字应写在字母前面,如4a;
带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数后与字母相乘,如应写作
数字与数字相乘,一般仍用“×”号,即“×”号不省略
在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写,如4÷(a-4)应写作;注意:分数线具有“÷”
号和括号的双重作用
在表示和(或)差的代差的代数式后有单位名称的,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面,如平方米
代数式的系数:代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3,4。
单个字母的系数是1,如a的系数是1
只含字母因数的代数式的系数是1或-1,如-ab的系数是-1。a3b的系数是1
代数式的项:代数式表示6x2、-2x、-7的和,6x2、-2x、-7是它的项,其中把不含字母的项叫做常数项——在交待某一项时,应与前面的符号一起交待
同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
判断几个代数式是否是同类项有两个条件:;。这两个条件缺一不可
同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关
几个常数项也是同类项
合差同类项:把代数式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。
合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律
合并同类项的法则是把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变
如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后结果为0
不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上
只要不再有同类项,就是最后结果,结果还是代数式
根据去括号法则去括号:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不改变符号;括号前面是“-”号去掉,括号里各项都改变符号
根据分配律去括号:括号前面是“+”号看成+1,括号前面是“-”号看成-1,根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的
去括号时,要连同括号前面的符号一起去掉;
去括号时,首先要弄清楚括号前是“+”号还是“-”号;
改变符号时,各项都变号;不改变符号时,各项都不变号。
第四章平面图形及位置关系
单元备注:
这一章重要是为后面几何打基础,重点在于:
重点在平行的性质与证明
同旁内角、内错角、同位角的定义(这个有些学生在开始的时候会出现小失误后面没什么问题)
垂线的性质与判定
1、线段
绷紧的琴弦,人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。
2、射线
将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。
3、直线
将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。
4、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形:
一个点可以用一个大写字母表示
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示
5、点和直线的位置关系有两种
点在直线上,或者说直线经过这个点
点在直线外,或者说直线不经过这个点
6、直线的性质
直线公理:经过两个点有且只有一条直线。
过一点的直线有无数条。
直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
直线上有无穷多个点。
两条不同的直线至多有一个公共点。
7、线段的性质
线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短。
两点之间的距离:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
线段的中点到两端点的距离相等。
线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
8、线段的中点
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
9、角
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边。
或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
10、平角和周角
一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角。终边继续旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角。
11、角的表示
角的表示方法有以下四种:
用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
12、角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。
1°=60’,1’=60”
13、角的性质
角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关
角的大小可以度量,可以比较
角可以参与运算
14、角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
15、平行线
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交
当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行