对口高考数学知识点总结.doc

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一、代数
一、常用数集的符号表示:
数集
自然
数集
正整
数集
整数集
有理
数集
实数集
非零实数集合
正实
数集
非负实
数集合
符号
N
N*
(或N+)
Z
Q
R
R*
R+
R+
二、集合与集合间的包含关系:
三、集合的基本运算:
四、充要条件:
在判断充分条件与必要条件时,需注意条件与结论对应的方向。即若p是q的充分条件,则p⇒q;若p是q的必要条件,则q⇒p;若p是q的充要条件,则p⇒q并且q⇒p,也可q⇔p。
五、比较两个实数大小的法则:
若a,b∈R,则(1)a>b⇔a-b>0;(2)a=b⇔a-b=0;(3)a<b⇔a-b<0.
六、不等式的基本性质:
(1)a>b⇔b<a;对称性(2)a>b,b>c⇒a>c;传递性
(3)a>b⇔a+c>b+c;可加性
*(4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;可乘性
七、不等式的其他常用性质:
(1)a+b>c⇒a>c-b;移项;(2)a>b,c>d⇒a+c>b+d;同向可加性;
(3)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;同向同正可乘性;
(4)a>b>0⇒an>bn(n∈,且n≥2);乘方性
(5)a>b>0⇒>(n∈N,且n≥2);开方性
(6)a>b且ab>0⇒倒数性
八、利用一元二次函数的性质解一元二次不等式:
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程
ax2+bx+c=0
有两不等实根
x1和x2,且x1<x2
有两相等实根
x1=x2
无实根
一元二次函数
f(x)=ax2+bx+c
(a>0)的图像
不等式
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|x<x1,或x>x2}
{x|x≠-}
R
不等式
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
九、函数的定义:
设A、B非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→:定义域、值域和对应关系.
十、函数的单调性:
函数单调性
增函数
减函数
图像
描述
 
 
定
义
前提
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间(a,b)上的任意自变量x1,x2
核心
实质
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),
那么就说函数f(x)在区间(a,b)是曾函数。
 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),
那么就说函数f(x)在区间(a,b)是减函数。
单调
区间
 区间(a,b)叫做函数f(x)的
曾区间。
区间(a,b)叫做函数f(x)的
减区间。
十一、函数的奇偶性:
函数奇偶性
偶函数
奇函数
图像
描述
 
 
定
义
前提
设函数f(x)的定义域为I,如果对于任意的x∈I,都有-x∈I,
核心
实质
并且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
 并且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
定义域具备性质
函数奇偶性是函数在整个定义域内的性质,不可用区间分开。定义域必须关于原点对称。
十二、函数图象的变换:
(1)平移变换:
①水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图像,可由y=f(x)的图像向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
②竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图像,可由y=f(x)的图像向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.
(2)对称变换:
①y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称.
②y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称.
③y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称.
④y=f-1(x)与y=f(x)的图像关于直线y=x对称.
⑤要得到y=|f(x)|的图像,可将y=f(x)的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变.
⑥要得到y=f(|x|)的图像,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图像关于y轴的对称性,作出x<0的图像.
(3)伸缩变换:
①y=Af(x)(A>0)的图像,可将y=f(x)图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到.
②y=f(ax)(a>0)的图像,可将y=f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变而得到.
十三、指数幂的转化:
十四、指数式和对数式的互化:设a>0,且a≠1,N>0,
十五、对数的性质与运算法则:
(1)对数的基本性质:设a>0,且a≠1则
①零和负数没有对数,即:N>0②1的对数等于0,即loga1=0;lg1=1,ln1=1
③底数的对数等于1,即logaa=1,lg10=1,lne=1
④两个重要的恒等式:alogaN=N;logaaN=N.
(2)对数的运算法则:设a>0,且a≠1则,对于任意正实数M、N以及任意实数P、m(m≠0)、n,都有
①loga(M·N)=logaM+logaN②loga=logaMlogaN
③logaMP=PlogaM④loga=logaN⑤logaMn=logaM⑥lg2+lg5=1
(3)换底公式:
logbN=(a>0且a≠1;b>0且b≠1);
①logab=(a,b均大于零,且不等于1);
②推广logab·logbc·logcd=logad(a、b、c均大于零,且不等于1;d大于0).
十六、Sn与an的关系:
十七、等差数列通项公式:an=a1+(n-1)=am+(n-m)d,(n,m∈N*).
十八、等差中项:如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.
十九、等差数列的常用性质:
(1)若{an}为等差数列,m+n=p+q,(m,n,p,q∈N*)则有am+an=ap+,当m+n=2p有am+an=2ap,其中ap是am与an的等差中项
(2)有穷数列中,与首末两端距离相等的两项和相等,并等于首末两项之和,若项数为奇数,则等于中间项的2倍,即a2+an-1=a3+an-2=……=ap+an-p+1=a1+an=2
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an}是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(5)若(),则{an}是等差数列,其中k为公差
(6)若公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列。
二十、等差数列的前n项和公式:Sn=,或Sn=na1+d.
注意:若 Sn=(),则{an}是等差数列,其中2p为公差
二十一、等差数列前n项和性质:项数为偶数的等差数列中,S偶-S奇=;
项数为奇数项的等差数列中S奇-S偶=中间项.
二十二、等比数列的通项公式:an=a1·qn-1或an=am·qn-m(n,m∈N*).
二十三、等比中项:若G2=a·b,则G叫做a与b的等比中项,.
二十四、等比数列的常用性质:
(1)若{an}为等比数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am·an=ap·,当m+n=2p时,有am·an=ap2.
(2)在有穷等比数列中,与首末两端距离相等的两项积相等,并等于首末两项之积,若该数列的项数为奇数,则等于中间项的平方,即a2·an-1=a3·an-2=……=ap·an-p+1=a1·an=
(3)在等不数列中,连续n项的积构成的新数列,仍是等比数列。
(4)等比数列的前n项和公式:
当q=1时,Sn=n;当q≠1时,.
二十五、等比数列前n项和的性质:若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列。
二、三角函数
一、终边相同角集合:{β|β=α+k·360°(k∈Z)}或{β|β=α+2kπ(k∈Z)}
①终边在x轴上的角的集合{β|β=k·180°(k∈Z)}或{β|β=kπ(k∈Z)}
②终边在y轴上角{β|β=900+k·180°(k∈Z)}或{β|β=+kπ(k∈Z)}
③第一象限上所有角组成的集合{α|k·360°<α<900+k·360°(k∈Z)}
④第二象限上所有角的集合{α|900+k·360°<α<1800+k·360°(k∈Z)}
⑤第三象限上所有角的集合{α|1800+k·360°<α<2700+k·360°(k∈Z)}
⑥第四象限上所有角的集合{α|2700+k·360°<α<(k+1)·360°(k∈Z)}
⑦“锐角”形成的集合:表示为{α|0°<α<900}
⑧“小于900的角”形成的集合:表示{α|α<900}
二、弧度制及相关公式:
①在半径为r的圆中,长度为l的圆弧对圆心角α的大小是弧度。即|α|=(rad)。②弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S扇形=lr=|α|r2
③角度弧度互换:
三、任意角的三角函数定义:设α是平面直角坐标系中一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为(r>0),那么角α的正弦、余弦、正切分别定义为sinα=,cosα=,tanα=,
四、一些特殊角的三角函数值对照表:
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
不存在
0
不存在
0
五、同角三角函数的基本关系式及重要变形:
(1)平方关系:sin2α+cos2α=∈R
(2)商数关系:=≠
(3)常用的变形公式:sin2+cos2=1,sin2+cos2=1
(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα
(4)
六、诱导公式:“奇变偶不变,符号看象限。”
α+k·2π(k∈Z)、-α、π±α、±α可以归结为k·±α(k∈Z),其中k为奇数,函数名变为其余名函数;k为偶数,函数名不改变。符号取原来函数值的符号,符号符合三角函数值的符号规律。
第一组:sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα;
第二组:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα;
第三组:sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα;
第四组:sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα;
第五组:sin()=cosα,cos()=sinα
第六组:sin()=cosα,cos()=-sinα
第七组:sin()=-cosα,cos()=-sinα
第八组:sin()=-cosα,cos()=sinα
七、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α-β)= tan(α+β)=
八、二倍角公式及其变形公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α=;sinα=2sincos,,
变形公式:
九、辅助角公式:
函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ),
或f(α)=cos(α-φ),其中,,,所在象限由a、b的符号确定。
十、三角函数及其图象:
y=sinx在[0,2π]图像,描出五个关键点(0,0)、、(π,0)、、(2π,0)
y=cos在[0,2π]图像,描出五个关键点(0,1)、、(π,-1)、(2π,1).
十一、利用函数y=sinx的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像:
方法一:
十二、正弦定理:===2R,R是△ABC外接圆半径
已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;
②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角。;
①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=,sinB=,sinC=,
③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC,④asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA。
十三、余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.
求角公式:cosA=cosB=cosC=
①已知三边,求各角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。
十四、已知a,b和A解三角形:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系
a<bsinA
a=bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解
无解
一解
两解
一解
一解
无解
三、解析几何
一、线段中点坐标公式:
二、两点间距离公式:,
三、斜率计算公式:
四、直线方程:(A,B不全为0)
五、平行线、垂直线系方程
六、点到直线的距离、平行线间距离公式
七、两直线的夹角公式:
八、圆的一般方程,标准方程,过圆上一点圆的切线方程
()圆心()半径
九、椭圆的标准方程
(1)通径:;(2);(3),特殊地时
(4)特殊地时,(5)
十、双曲线的标准方程
(1)通径:;(2);(3),特殊地时
(4)特殊地时,(5)
十一、抛物线的标准方程
(1)通径:2p(2)开口向右的焦点弦长公式:
(3)两个直角的结论(自己补上)
重点:圆锥曲线的弦长公式
四、立体几何
一、几个比较常用的结论:
1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2、过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直.
3、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
4、过直线外一点有无数多个平面与已知直线平行.
5、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等.
6、过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直.
7、如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另外一条也垂直于这个平面.
8、垂直于同一条直线的两个平面平行.
9、垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以是:平行或相交.
10、平行于同一个平面的两个平面平行,平行于同一条直线的两条直线平行.
11、两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面.