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二次函数
:y=ax2+bx+c.(a≠0)
:二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过(0,c)点.
=ax2(a≠0)的特性:当y=ax2+bx+c(a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2(a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数,有下列特性:
(1)图象关于y轴对称;(2)顶点(0,0);(3)y=ax2(a≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式,顶点式和双根式,即:y=ax2+0x+0,y=a(x-0)2+0,y=a(x-0)(x-0).
=ax2+bx+c(a≠0)的图象及几个重要点的公式:
=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c与Δ的符号与图象的关系:
(1)a>0<=>抛物线开口向上;a<0<=>抛物线开口向下;
(2)c>0<=>抛物线从原点上方通过;c=0<=>抛物线从原点通过;
c<0<=>抛物线从原点下方通过;
(3)a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧;a,b同号<=>对称轴在y轴的左侧;
b=0<=>对称轴是y轴;
(4)Δ>0<=>抛物线与x轴有两个交点;
Δ=0<=>抛物线与x轴有一个交点(即相切);
Δ<0<=>抛物线与x轴无交点.
:已知二次函数图象上三点的坐标,可设解析式y=ax2+bx+c,并把这三点的坐标代入,解关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法.
:y=a(x-h)2+k(a≠0);由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h,k),对称轴方程x=h和函数的最值y最值=k.
:已知二次函数的顶点坐标(x0,y0)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x-x0)2+y0,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意:习题无特殊说明,最后结果要求化为一般式)
:二次函数一般应先化为顶点式,然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时,改变的是h,k的值,a值不变,具体规律如下:
k值增大<=>图象向上平移;k值减小<=>图象向下平移;(x-h)值增大<=>图象向左平移;(x-h)值减小<=>图象向右平移.
:(即交点式)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0).
:已知二次函数图象与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2),再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.(注意:习题最后结果要求化为一般式)
:已知二次函数图象上的点与对称轴,可利用图象的对称性求出已知点的对称点,这个对称点也一定在图象上.
教学建议:二次函数
平面直角坐标系。常量。变量。函数及其表示法。
具体要求:
(1)理解平面直角坐标系的有关概念,并会正确地画出直角坐标系;理解平面内点的坐标的意义,会根据坐标确定点和由点求得坐标。了解平面内的点与有序实数对之间一一对应。
(2)了解常量、变量、函数的意义,会发现、提出函数的实例,以及分辨常量与变量、自变量与函数。
(3)理解自变量的取值范围和函数值的意义,对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数,会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值。
(4)了解函数的三种表示法,会用描点法画出函数的图象。
(5)通过函数的教学,使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的,并向学生渗透数形结合的思想方法。
二次函数。抛物线的顶点、对称轴和开口方向。
△一元二次方程的图象解法。
具体要求:
(1)理解二次函数和抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数的图象,会用公式(不要求掌握公式推导过程和记忆公式)确定抛物线的顶点和对称轴。
*(2)会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。
△(3)会用图象法求一元二次方程的近似解。
*(4)会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式。
相似形
(1)形状相同的两个图形叫做相似形。
(2)相似的图形,他们的大小不一定相同。大小相同的两个相似形是全等形。
(3)如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形对应角相等,对应边的长度成比例。
(4)图形的大小或放缩,称为图形的放缩运动。通过放缩运动,两个相似的图形可以互相重合(即称为全等形)。
(1)两条线段长度的比叫做两条线段的比。
(2)在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。
(3)比例线段的性质:
基本性质:如果,那么(或)。
合比性质:如果,那么。
等比性质:如果,那么。
(4)黄金分割
如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB),其中,AP是AB和PB的比例中项,那么这种
分割为黄金分割,点P称为AB的黄金分割点,AP与AB的比值称为黄金分割数,它
。
(1)定理1平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例。
推论1平行于三角形的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
(2)三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
(3)定理2如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
推论2如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
(4)两条直线被三条平行线所截,截得的对应线段成比例。
两条直线被被三条平行线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等。
(1)概念:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.
(2)相似用符号“∽”表示,读作“相似于”.
(3)相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).
(4)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(5)注意:
①对应性:即两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.
②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.
③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.
④,而相似要求对应边成比例.
定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原
三角形相似.
定理的基本图形:
用数学语言表述是:
,
∽.
(1)相似三角形:如果两个三角形的三个角对应相等,三条边对应成比例。
对应边的比叫做相似比。当相似比等于1时,这两个相似三角形是全等三角形。
(2)相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。
(3)相似三角形的判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似。
(4)相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,且夹角相等,那么这两个三角形相似。
(5)相似三角形判定定理3
如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例,那么这两个三角形相似。
(6)直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
(7)两个三角形相似,那么它们的对应角相等,对应边成比例。
(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比。
(3)相似三角形周长的比等于相似比。
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
:
(1)相似多边形周长比,对应对角线的比等于相似比.
(2)相似多边形中对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比.
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方.
教学建议:相似形
比与比例。比例的基本性质。合比性质。等比性质。
两条线段的比。成比例的线段。
平行线分线段成比例。截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定。
具体要求:
(1)理解比与比例的概念。能够说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项。
(2)掌握比例的基本性质定理、合比性质和等比性质。会用它们进行简单的比例变形。
(3)理解线段的比、成比例线段的概念。会判断线段是否成比例。了解黄金分割。
(4)了解平行线分线段成比例定理及截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定定理的证明;会用它们证明线段成比例、线段平行等问题,并会进行有关的计算。会分线段成已知比。
相似三角形。三角形相似的判定。直角三角形相似的判定。相似三角形的性质。
具体要求:
(1)理解相似三角形的概念。
(2)灵活运用两对对应角相等、或一对对应角相等且夹边成比例、或三对边之比相等则两三角形相似的判定定理,以及一对直角边和斜边成比例则两直角三角形相似的判定定理。
(3)理解相似比的概念和相似三角形的对应高的比等于相似比的性质。
(4)会按已知相似比作一个三角形与已知三角形相似。
锐角三角函数
:直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B):
定义
表达式
取值范围
关系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
(倒数)
余切
(∠A为锐角)
对边
邻边
斜边
A
C
B
;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
0
1
1
0
0
1
-
-
1
0
、余弦的增减性:
当0°≤≤90°时,sin随的增大而增大,cos随的增大而减小。
、余切的增减性:
当0°<<90°时,tan随的增大而增大,cot随的增大而减小。
:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
依据:①边的关系:;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法)
:
(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示,即。坡度一般写成
的形式,如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角),那么。
,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。
°的水平角,叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东30°(东北方向),南偏东45°(东南方向),
南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。
锐角三角函数(及解直角三角形)
锐角三角函数。锐角三角函数值。角的三角函数值。
具体要求:
(1)了解锐角三角函数的概念,能够正确地应用,,,表示直角三角形中两边的比。
(2)会用科学计算器(尚无条件的学校可使用算表)由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角。
(3)熟记,角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数式的值,会由一个特殊锐角的三角函数值,求出它对应的角度。
解直角三角形。解直角三角形的应用。
实习作业。
具体要求:
(1)掌握直角三角形的边角关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
(2)会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题。
(3)通过与三角形或四边形有关的实习作业,培养学生解决实际问题的能力和用数学的意识。
建学建议:视图与投影
:主视图、俯视图和左视图。
三视图之间要保持长对正,高平齐,宽相等。一般地,俯视图要画在主视图的下方,左视图要画在正视图的右边。
主视图:从物体正面视得的图象
俯视图:从物体上面视得的图象
左视图:从物体左面视得的图象
(平面或曲面),而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
,一定是平面体(或曲面体)上凸出或凹的各个小的平面体(或曲面体)。
,看得见的部分的轮廓线通常画成实线,看不见的部分轮廓线通常画成虚线。
物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影。
太阳光线可以看成平行的光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的,像这样的光线所形成的投影称为中心投影。
:①观察光源;②观察影子。
眼睛的位置称为视点;由视点发出的线称为视线;眼睛看不到的地方称为盲区。
、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影,是当光线与投影垂直时的投影。
(1)点在一个平面上的投影仍是一个点;
(2)线段在一个面上的投影可分为三种情况:
线段垂直于投影面时,投影为一点;
线段平行于投影面时,投影长度等于线段的实际长度;
线段倾斜于投影面时,投影长度小于线段的实际长度。
(3)平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况:
平面图形和投影面平行的情况下,其投影为实际形状;
平面图形和投影面垂直的情况下,其投影为一线段;
平面图形和投影面倾斜的情况下,其投影小于实际的形状。
建学建议:视图与投影(识图初步)
正投影的视图。
基本几何体的视图。
简单零件图。
具体要求:
(1)了解正投影,视图主视图、俯视图、左视图的意义。
(2)会画基本几何体的二视图或三视图。
(3)会描绘含有直线和圆弧,圆弧和圆弧连接的轮廓线的简单零件图。