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1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式:
一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
空间几何体的三视图和直观图
投影:中心投影平行投影
(1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
(2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”
2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图).观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系(尽可能使更多的点在坐标轴上)
②建立斜坐标系,使=450(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y‘轴,且长度变为原来的一半;
一般地,原图的面积是其直观图面积的倍,即
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积;⑵圆锥侧面积:
⑶圆台侧面积:
⑷体积公式:
;;
⑸球的表面积和体积:
.一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
公理1的作用:判断直线是否在平面内
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
若A,B,C不共线,则A,B,C确定平面
推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面
若,则点A和确定平面
推论2:过两条相交直线有且只有一个平面
若,则确定平面
推论3:过两条平行直线有且只有一个平面
若,则确定平面
公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。
4、公理4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
(1)没有任何公共点的两条直线平行
(2)有一个公共点的两条直线相交
(3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
7、线面位置关系:直线在平面内、平行、相交
8、面面位置关系:平行、相交。
9、证明两直线平行的主要方法是:
①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半;
②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行;
③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;
④平行线的传递性:
⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
⑥垂直于同一平面的两直线平行;
⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;(上面的③)
10、线面平行:(即直线与平面无任何公共点)
⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)
(2)性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;
11、面面平行:(即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
(2)面面平行性质:平行于同一平面的两平面平行;
(3)面面平行性质:垂直于同一直线的两平面平行
另外性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;
11、线线垂直:
证明两直线垂直和主要方法:
①利用勾股定理证明两相交直线垂直;
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;
③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);
(4)线面垂直性质:
利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”)
11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
12、面面垂直:
⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)
转化思想
面面平行线面平行线线平行
面面垂直线面垂直线线垂直
空间角及空间距离的计算
一、异面直线所成的角
:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在两异面直线中的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,
2、求法:平移直线法(一作,二说,三求——余弦定理)
二、斜线与平面成成的角
:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:PA是平面的一条斜线,A为斜足,O为垂足,OA叫斜线PA在平面上射影,为线面角。
2、范围:
3、求法:定义法(一作,二说,三求——解直角三角形)
三、二面角
:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直
范围:
求法:
(1)定义法
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:
确构成二面角两个半平面和棱;②明确二面角的平面角是哪个?
而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)
(2)、三垂线定理法:条件:从一个面到另一个面有垂线
(3)公式法:
:指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。
如图:O为P在平面上的射影,
线段OP的长度为点P到平面的距离求法通常有:定义法和等体积法
等体积法:就是将点到平面的距离看成是
三棱锥的一个高。如图在三棱锥
中有: