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,则
(只要两角之和为/2就行)
,
4.
,
,
,,
7.,其中,
9凡正余弦的次数为二,均可以化成正切函数来表示
如:
例题:
(1)若,,则
(2)求下列函数的值域①②
(3)已知,求和的值
(4)设函数图象的一条对称轴是直线,① 求;② 求函数的单调增区间;③画出函数在区间[0,]上的图象.
(5)已知均为锐角,,则的大小为            .
(6)ABC中,已知,则ABC的形状为                       (     )
.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
注:如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.(同增异减)
奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
注:若函数是偶函数,则;若函数是偶函数,则.
注:对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与的图象关于直线对称.
注:若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.
多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
、上移个单位,得到函数的图象;若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象.
几个函数方程的周期(约定a>0)
(1),则的周期T=a;
(2),
或,
或,
或,则的周期T=2a;
第一章三角函数
13、①y=sin(x)的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
②的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
14、函数的性质:
①振幅:;②周期:;③频率:;④相位:;⑤初相:.
函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,.
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时,;当
时,.
当时,
;当
时,.
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数;在
上是减函数.
在上是增函数;在
上是减函数.
在
上是增函数.
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
课时一、任意角的三角函数及诱导公式
:
、弧度:了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化;
:借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;
从近几年的新课程高考考卷来看,试题内容主要考察三角函数的图形与性质,但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式,在处理一些复杂的三角问题时,同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置,绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置,就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边,叫终边,射线的端点叫做叫的顶点。为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
、区间角与象限角
角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角(或轴上角),具体读作的非负、非正半轴及的非负、非正半轴及。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角,它们彼此相差2kπ(k∈Z),即β∈{β|β=2kπ+α,k∈Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角,如α∈{α|≤α≤}=[,]。
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1,或1弧度,或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-π,-2π等等,一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
角的弧度数的绝对值是:,其中,l是圆心角所对的弧长,是半径。
角度制与弧度制的换算主要抓住。
弧度与角度互换公式:1rad=°、1°=(rad)。
弧长公式:(是圆心角的弧度数),扇形面积公式:。
a的终边
P(x,y)
O
x
y
在的终边上任取一点,,垂足为,则线段的长度为,;;。
利用单位圆定义任意角的三角函数,设是一个任意角,
它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即;
O
x
y
a角的终边
P
T
M
A
(2)叫做的余弦,记做,即;
(3)叫做的正切,记做,即。
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数
值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、
解三角方程及三角不等式等问题时,十分方便。
以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一个圆,这个圆就叫做单位圆。当角为第一象限角时,则其终边与单位圆必有一个交点,过点作轴交轴于点,根据三角函数的定义:;。
我们知道,,以为始点、为终点,规定:
当线段与轴同向时,的方向为正向,且有正值;当线段与轴反向时,
的方向为负向,且有正值;,无论那种情况都有:
同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点,
规定:当线段与轴同向时,的方向为正向,且有正值;当线段与轴反向时,的方向为负向,且有正值;其中为点的横坐标。
这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段。
如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有:
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线。
使用这组公式进行变形时,经常把“切”用“弦”表示,即化弦法,这是三角变换非常重要的方法。
几个常用关系式:,,;(三式之间可以互相表示)
设,两侧平方,得:
同理可以由,推出其余两式。
:可用十个字概括为“奇变偶不变,符号看象限”。
题型1:象限角
;(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角;
,那么两集合的关系是什么?
>0,则θ在()
、、三象限 、、四象限
“是第三象限角,则是第几象限角?
题型2:三角函数定义
,求的三个三角函数值。
,且,求的值。
题型3:诱导公式
()
B.
:
(1);(2)。
题型4:同角三角函数的基本关系式
,试确定使等式成立的角的集合。
例10.(1)证明:;(2)证明:。
限时训练任意角的三角函数及诱导公式
1、在中,若,则 .
2、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为.