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知识回顾:
集合
基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.
集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:确定性、互异性、无序性.
3⑴①一个命题的否命题为真,.
②一个命题为真,.
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
(1)公式法:,与型的不等式的解法.
(2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
(三)简易逻辑
1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式:p或q(记作“p∨q”);p且q(记作“p∧q”);非p(记作“┑q”)。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
4、四种命题的形式:
原命题:若P则q;逆命题:若q则p;
否命题:若┑P则┑q;逆否命题:若┑q则┑p。
6、如果已知pq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
函数
知识回顾:
映射与函数
映射与一一映射
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
(二)函数的性质
⒈函数的单调性
定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数;
⑵若当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x).
(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
指数函数与对数函数
指数函数及其性质
y=ax(a>0,a≠1)
a>1
0<a<1
图
象
图
像
特
征
图像分布在一、二象限,与有y轴相交,落在轴的上方。
都过点(0,1)
第一象限的点的纵坐标都大于1;第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1。
第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1;第二象限的点的纵坐标都大于1。
从左向右图像逐渐上升。
从左向右图像逐渐下降。
性
质
定义域:R
值域:(0,+∞)
过定点(0,1),即x=0时,y=1
x>0时,y>1;x<0时,0<y<1
x>0时,0<y<1;x<0时,y>1.
在R上是增函数
在R上是减函数
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
(9)
对数函数及其性质
y=logax(a>0,a≠1)
a>1
0<a<1
图
象
y
x
0
1
y
x
0
1
图
像
特
征
图像分布在一、四象限,与有x轴相交,落在y轴的右侧。
都过点(1,0)
第一象限的点的横坐标都大于1;第四象限的点的横坐标都大于0且小于1。
第一象限的点的横坐标都大于0且小于1;第四象限的点的横坐标都大于1。
从左向右图像逐渐上升。
从左向右图像逐渐下降。
性
质
定义域:(0,+∞)
值域:R
过定点(1,0),即x=1时,y=0
x>1时,y>0;0<x<1时,y<0
0<x<1时,y>0x>1时,y<0.
在R上是增函数
在R上是减函数
.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等.
.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③换元法;④不等式法;⑤函数的单调性法.
数列
等差数列
等比数列
定义
递推公式
;
;
通项公式
()
前项和
重要性质
看数列是不是等差数列有以下方法:
①
②2()
⑶看数列是不是等比数列有以下方法:
①
②(,)①
在等差数列{}中,有关Sn的最值问题:(1)当>0,d<0时,满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时,满足的项数m使得取最小值。
(三)、数列求和的常用方法
:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
:适用于其中{}是各项不为0的等差数列,c为常数; :适用于其中{}是等差数列,是各项不为0的等比数列。
:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
三角函数
:
三角函数
定义域
sinx
cosx
tanx
2、同角三角函数的基本关系式:
3、诱导公式:
“奇变偶不变,符号看象限”
三角函数的公式:(一)基本关系
、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
定义域
R
R
值域
R
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
上为增函数;上为减函数()
;上为增函数
上为减函数
()
上为增函数()
②或()的周期.
④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().
奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)
奇偶性的单调性::是奇函数,是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若的定义域,则一定有.(的定义域,则无此性质)
⑨不是周期函数;为周期函数();
是周期函数(如图);为周期函数();
的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
.
三角函数图象的作法:
1)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
2)、利用图象变换作三角函数图象.
平面向量
向量的概念
(1)向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:几何表示法;字母表示:a;
坐标表示法a=xi+yj=(x,y).
(3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.
(4)特殊的向量:零向量a=O|a|=O.
单位向量aO为单位向量|aO|=1.
(5)相等的向量:大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2)
(6)相反向量:a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,∥.
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
向量的
减法
三角形法则
,
数
乘
向
量
,满足:
2.>0时,同向;
<0时,异向;
=0时,.
向
量
的
数
量
积
是一个数
,
.
2.
、公式
(1)平面向量基本定理
e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1,
λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥ba=λb(b≠0)x1y2-x2y1=O.
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b=Ox1x2+y1y2=O.
中点公式=(+)或
正、余弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
三角形面积计算公式:(1)S=ah/2
(2).已知三角形三边a,b,c,则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)](p=(a+b+c)/2)
(3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=1/2*absinC
(4).设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为rS=(a+b+c)r/2
(5).设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为RS=abc/4R
(6).根据三角函数求面积:S=absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R为外切圆半径。不等式知识要点
不等式的基本概念
不等(等)号的定义:
(1)(对称性)(2)(传递性)
(3)(加法单调性)(4)(同向不等式相加)(5)(异向不等式相减)(6)
(7)(乘法单调性)(8)(同向不等式相乘)(异向不等式相除)(倒数关系)
(11)(平方法则)(12)(开方法则)
(1)(2)(当仅当a=b时取等号)(3)如果a,b都是正数,那么(当仅当a=b时取等号)
极值定理:若则:
如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小;
如果S是定值,那么当x=y时,P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件:一正、二定、三相等.
(当仅当a=b=c时取等号)
(当仅当a=b时取等号)
不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
不等式的解法
直线和圆的方程
一、直线方程.
:一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是.
注:①当或时,直线垂直于轴,它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.
:点斜式、截距式、两点式、斜切式.
3.⑴两条直线平行:
∥两条直线平行的条件是:①和是两条不重合的直线.②,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
(一般的结论是:对于两条直线,它们在轴上的纵截距是,则∥,且或的斜率均不存在,即是平行的必要不充分条件,且)
推论:如果两条直线的倾斜角为则∥.
⑵两条直线垂直:
两条直线垂直的条件:①设两条直线和的斜率分别为和,则有这里的前提是的斜率都存在.②,且的斜率不存在或,且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)
.点到直线的距离:
⑴点到直线的距离公式:设点,直线到的距离为,则有.
注:
两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:.
特例:点P(x,y)到原点O的距离:
直线的倾斜角(0°≤<180°)、斜率:
过两点.