高二数学上册知识点.doc

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《不等等式》
解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。
高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。
证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。
直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。
还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。
《立体几何》
点线面三位一体,柱锥台球为代表。距离都从点出发,角度皆为线线成。
垂直平行是重点,证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。
方程思想整体求,化归意识动割补。计算之前须证明,画好移出的图形。
立体几何辅助线,常用垂线和平面。射影概念很重要,对于解题最关键。
异面直线二面角,体积射影公式活。公理性质三垂线,解决问题一大片。
《平面解析几何》
有向线段直线圆,椭圆双曲抛物线,参数方程极坐标,数形结合称典范。
笛卡尔的观点对,点和有序实数对,两者—一来对应,开创几何新途径。
两种思想相辉映,化归思想打前阵;都说待定系数法,实为方程组思想。
三种类型集大成,画出曲线求方程,给了方程作曲线,曲线位置关系判。
四件工具是法宝,坐标思想参数好;平面几何不能丢,旋转变换复数求。
解析几何是几何,得意忘形学不活。图形直观数入微,数学本是数形学
《排列、组合、二项式定理》
加法乘法两原理,贯穿始终的法则。与序无关是组合,要求有序是排列。
两个公式***质,两种思想和方法。归纳出排列组合,应用问题须转化。
排列组合在一起,先选后排是常理。特殊元素和位置,首先注意多考虑。
不重不漏多思考,捆绑插空是技巧。排列组合恒等式,定义证明建模试。
关于二项式定理,中国杨辉三角形。两条性质两公式,函数赋值变换式。
《复数》
虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。
对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。
箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。
代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数值周期现。
一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。
利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形,
减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。
三角形式的运算,须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式,乘方开方极方便。
辐角运算很奇特,和差是由积商得。四条性质离不得,相等和模与共轭,
两个不会为实数,比较大小要不得。复数实数很密切,须注意本质区别。
 
 
一、不等式的性质


(4)(乘法单调性)

(2)如果a>0,那么
(3)|a•b|=|a|•|b|.
(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
(6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.
二、不等式的证明

(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式:①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)
②a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)

(1)比较法:要证明a>b(a<b),只要证明a-b>0(a-b<0),这种证明不等式的方法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.
(2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.
(3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.
证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.
三、解不等式

(1)解一元一次不等式.
(2)解一元二次不等式.
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.
①解一元高次不等式;
②解分式不等式;
③解无理不等式;
④解指数不等式;
⑤解对数不等式;
⑥解带绝对值的不等式;
⑦解不等式组.
:
(1)正确应用不等式的基本性质.
(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.
(3)注意代数式中未知数的取值范围.

(5)|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)
(6)|f(x)|>g(x)
①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.
(9)当a>1时,af(x)>ag(x)与f(x)>g(x)同解,当0<a<1时,af(x)>ag(x)与f(x)<g(x)同
 平方关系:
 sin^2α+cos^2α=1
 1+tan^2α=sec^2α
 1+cot^2α=csc^2α
 ·积的关系:
 sinα=tanα×cosα
 cosα=cotα×sinα
 tanα=sinα×secα
 cotα=cosα×cscα
 secα=tanα×cscα
 cscα=secα×cotα
 ·倒数关系:
 tanα·cotα=1
 sinα·cscα=1
 cosα·secα=1
 商的关系:
 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
 cosα/sinα=cotα=cscα/secα
 直角三角形ABC中,
 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
 余弦等于角A的邻边比斜边
 正切等于对边比邻边,
 ·[1]三角函数恒等变形公式
 ·两角和与差的三角函数:
 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
 cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
 sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
 tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
 ·三角和的三角函数:
 sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
 cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
 tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
 ·辅助角公式:
 Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t),其中
 sint=B/(A²+B²)^(1/2)
 cost=A/(A²+B²)^(1/2)
 tant=B/A
 Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B
 ·倍角公式:
 sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
 cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
 tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
 ·三倍角公式:
 sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)
 cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)
 tan(3α)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)
 ·半角公式:
 sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
 cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
 tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
 ·降幂公式
 sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
 cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
 tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
 ·万能公式:
 sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
 cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
 tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
 ·积化和差公式:
 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
 cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
 cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
 sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
 ·和差化积公式:
 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
 ·推导公式
 tanα+cotα=2/sin2α
 tanα-cotα=-2cot2α
 1+cos2α=2cos²α
 1-cos2α=2sin²α
 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
 ·其他:
 sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及
 sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
 cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
 证明:
 左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
 =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx(积化和差)
 =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
 等式得证
 sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
 证明:
 左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
 =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
 =-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
 等式得证
[编辑本段]三角函数的诱导公式
 公式一:
 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
 sin(2kπ+α)=sinα
 cos(2kπ+α)=cosα
 tan(2kπ+α)=tanα
 cot(2kπ+α)=cotα
 公式二:
 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
 sin(π+α)=-sinα
 cos(π+α)=-cosα
 tan(π+α)=tanα
 cot(π+α)=cotα
 公式三:
 任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
 sin(-α)=-sinα
 cos(-α)=cosα
 tan(-α)=-tanα
 cot(-α)=-cotα
 公式四:
 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
 sin(π-α)=sinα
 cos(π-α)=-cosα
 tan(π-α)=-tanα
 cot(π-α)=-cotα
 公式五:
 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
 sin(2π-α)=-sinα
 cos(2π-α)=cosα
 tan(2π-α)=-tanα
 cot(2π-α)=-cotα
 公式六:
 π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
 sin(π/2+α)=cosα
 cos(π/2+α)=-sinα
 tan(π/2+α)=-cotα
 cot(π/2+α)=-tanα
 sin(π/2-α)=cosα
 cos(π/2-α)=sinα
 tan(π/2-α)=cotα
 cot(π/2-α)=tanα
 sin(3π/2+α)=-cosα
 cos(3π/2+α)=sinα
 tan(3π/2+α)=-cotα
 cot(3π/2+α)=-tanα
 sin(3π/2-α)=-cosα
 cos(3π/2-α)=-sinα
 tan(3π/2-α)=cotα
 cot(3π/2-α)=tanα
 (以上k
∈Z)
 对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
 证明:
 已知(A+B)=(π-C)
 所以tan(A+B)=tan(π-C)
 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
 整理可得
 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
 类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
 设a=(x,y),b=(x',y')。
 
1、向量的加法
 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
 AB+BC=AC。
 a+b=(x+x',y+y')。
 a+0=0+a=a。
 向量加法的运算律:
 交换律:a+b=b+a;
 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
 
2、向量的减法
 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=
 AB-AC=“共同起点,指向被减”
 a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
 当λ>0时,λa与a同方向;
 当λ<0时,λa与a反方向;
 当λ=0时,λa=0,方向任意。
 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
 当
∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
 数与向量的乘法满足下面的运算律
 结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的的数量积
 定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。
 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b。若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣。
 向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。
 向量的数量积的运算率
 a·b=b·a(交换率);
 (a+b)·c=a·c+b·c(分配率);
 向量的数量积的性质
 a·a=|a|的平方。
 a⊥b〈=〉a·b=0。
 |a·b|≤|a|·|b|。
 向量的数量积与实数运算的主要不同点
 1、向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。
 2、向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。
 3、|a·b|≠|a|·|b|
 4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b。
4、向量的向量积
 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
 向量的向量积性质:
 ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
 a×a=0。
 a‖b〈=〉a×b=0。
 向量的向量积运算律
 a×b=-b×a;
 (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
 (a+b)×c=a×c+b×c.
 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
 1、
∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
 ①当且仅当a、b反向时,左边取等号;
 ②当且仅当a、b同向时,右边取等号。
 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
 ①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
 ②当且仅当a、b反向时,右边取等号。
定比分点
 定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)
 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ,使向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
 x=(x1+λx2)/(1+λ),
 y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
 三点共线定理
 若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
 三角形重心判断式
 在△ABC中,若GA+GB+GC=0,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
 若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
 a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
 零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
 a⊥b的充要条件是a·b=0。
 a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
 零向量0垂直于任何向量.
还有注意一点,不要把点写成叉
圆锥曲线里的弦长公式
d=根号(1+k^2)|x1-x2|=根号(1+k^2)根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
圆里相交直线所构成的弦长m,与圆的半径r,圆心到直线的距离d的关系为
(m/2)^2+d^2=r^2
直线
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
平行的充要条件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0
点到直线的距离公式
d=|Ax0+By0+C|/根号(A^2+B^2)
若平行
则d=|c2-c1|/根号(A^2+B^2)
A和B上下两个式子必须相等