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一、主要知识点
1、要理解和熟记六类基本初等函数的常用极限,具体如下:
2、要正确使用以下极限的四则运算法则:则:
3、无穷小量
定义:称以零为极限的变量为无穷小量。
运算性质:无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。
3)阶的比较:
【注】八个常用的等价的无穷小量:
4)无穷小的等价代换
4、无穷大量
定义:称绝对值无限增大的变量为无穷大量。
无穷大量与无穷小量的关系―――互为倒数。
5、两个重要极限
6、函数的连续性
设函数f(x)在点x0连续,必须满足以下三个条件:
(1)f(x)在x0有定义,即f(x0)存在;
初等函数的连续性―――由基本初等函数在其定义区间上的图形都是一条连续不断的曲线,可知基本初等函数在其定义区间上必连续。因而由基本初等函数经过加、减、乘、除运算构成的简单初等函数在其定义区间上必连续,因而由基本函数或简单的初等函数经过乘方、开方、指数、对数、三角、反三角运算构成的复合函数在其定义区间上必连续。因而这一切初等函数在其定义区间上必连续。
二、典型例题和解题思路
1、数列的极限
(1)有理式求极限(只看最高次项)
典型例题:.
(2)恒等变形
①分子有理化
典型例题:
②拆项
三、函数的极限
1、多项式求极限(直接代入)
典型例题:
2、有理式求极限
①趋向定点时有理式求极限(先代入分母,再代入分子)
②趋向无穷时有理式求极限(只看最高次项)
③分子、分母有理化
3、无穷小的性质及无穷小的比较
(1)无穷小的性质
(2)无穷小的比较
典型例题:为等价无穷小。
(3)无穷小的等价代换
4、两个重要极限
(1)、第一个重要极限:
【注】如果是第一个重要极限的小题(选择或填空题),第一个重要极限的问题用等价代换更为简便。
四、函数连续性
典型例题:函数处是否连续?
典型例题:
解因为连续,所以处有极限并且都等于函数值(左右连续):
【注】如果是连续的填空题、选择题,可把分段点直接代入两个表达式,他们的值相等就可以得到待求的常数。
微分知识点睛(导数与微分)
知识结构:
求导法则
基本公式
导数
微分
关系
高阶导数
必备基础知识
★导数的定义(增量比值的极限)
(也可记为,或.)
★可导性与连续性的关系
可导连续有极限
注:函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件,但不是充分条件.
★导数的几何意义
函数在点x0处的导数在几何上表示曲线在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率.
切线方程为:
法线方程为:
★导数公式(必须牢记)
(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=mxm-1,
(3)(sinx)¢=cosx,(4)(cosx)¢=-sinx,
(5)(tanx)¢=sec2x,(6)(cotx)¢=-csc2x,
(7)(secx)¢=secx×tanx,(8)(cscx)¢=-cscx×cotx,
(9)(ax)¢=axlna,(10)(ex)¢=ex,
(11),(12),
(13),(14).
(15),(16).
★函数的和、差、积、商的求导法则
★复合函数的求导法则(从外到里层层求导,外面求导,里面不变)
定理3若函数在点x处可导,而在点处可导,则复合函数在点x处可导,且其导数为
或
★隐函数的导数(牢记是的函数)
如方程F(x,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求导,注意y=y(x)。
步骤:(1)方程两边同时对x求导(注意是的函数)
(2)解出
★对数求导法:
先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量求导,最后解出所求导数.
★高阶导数(从低阶到高阶逐阶求导)
y¢¢=(y¢)¢,f¢¢(x)=[f¢(x)]¢,.
★微分
1)微分的定义
定义设函数在某区间内有定义,及在这区间内,如果函数的增量可表示为:
其中A是与无关的常数,则称函数在点可微,并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分,记作,即
2)函数可微的条件
定理:函数在点可微的充要条件是:
在点处可导,且即。
主要考察知识点和典型例题:
考点一:导数的概念
典型例题:设存在,求极限
解:
【注】这种题目一般只出填空或选择,我们可以按以下方法解题:这种题目的结果均为:,其中等于分子中的个数除以分母中的个数。
考点二:导数的几何意义
切线方程为:
法线方程为:
典型例题:求曲线在点处的切线方程.
解因为
故所求切线方程为即
典型例题:已知在处的切线平行于直线,则=_______。
解先求在处的切线的斜率:,所以。
由于切线平行于直线,而已知平行直线的斜率,
所以斜率相等,即:,。
考点三:函数和、差、积、商的求导法则
的和、差、商(除分母为0的点外)都在点x可导,
典型例题:,求f¢(x)及.
解:,
.
考点四:复合函数的求导法则(从外到里层层求导,外面求导,里面不变)——重点
【注】复合函数求导首先要弄清楚它是由哪些基本初等函数复合而成的,即弄清楚复合函数的每一层。
典型例题:求的导数.
解:是由、两个初等函数复合而成的,也就是有两层:第一层是正弦函数,第二层是幂函数,所以:
典型例题:设函数,求。
解
考点五:隐函数的导数(牢记是的函数)
如方程F(x,y)=0确定了y=y(x),只需方程两边对x求导,注意y=y(x)。
例:,
步骤:(1)方程两边同时对x求导(注意是的函数)
(2)解出
典型例题:求由方程所确定的函数在点处的切线方程.
解在题设方程两边同时对自变量求导,得
解得,在点处,
于是,在点处的切线方程为:,即
考点六:对数求导法()——一般性掌握
典型例题::设求.
解:等式两边取对数得:
两边对求导得:
考点七:参数方程表示的函数的导数——重点
设,则
典型例题:求由参数方程所表示的函数的导数.
解:
往年真题:设,求.
解:,,
考点八:高阶导数(从低阶到高阶逐阶求导)——重点
典型例题:设,求
解