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函数与极限
1两个无穷小的比较
设且
(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f(x)=0[],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以f(x)~g(x)
2常见的等价无穷小
当x→0时
sinx~x,tanx~x,~x,~x
1−cosx~,−1~x,~x,~
二求极限的方法
两个准则
准则2.(夹逼定理)设g(x)≤f(x)≤h(x)放缩求极限
若,则
两个重要公式
公式1
公式2
用无穷小重要性质和等价无穷小代换
★用泰勒公式
当时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次
洛必达法则
定理1设函数、满足下列条件:
(1),;
(2)与在的某一去心邻域内可导,且;
(3)存在(或为无穷大),则
这个定理说明:当存在时,也存在且等于;当为无穷大时,也是无穷大.
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(ospital)法则.
例1计算极限.
解该极限属于“”型不定式,于是由洛必达法则,得
.
例2计算极限.
解该极限属于“”型不定式,于是由洛必达法则,得
.
注若仍满足定理的条件,则可以继续应用洛必达法则,即
二、型未定式
定理2设函数、满足下列条件:
(1),;
(2)与在的某一去心邻域内可导,且;
(3)存在(或为无穷大),则
注:上述关于时未定式型的洛必达法则,对于时未定式型同样适用.
例3计算极限.
解所求问题是型未定式,连续次施行洛必达法则,有
.
使用洛必达法则时必须注意以下几点:
(1)洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则;
(2)只要条件具备,可以连续应用洛必达法则;
(3)洛必达法则的条件是充分的,,在该法则失效时并不能断定原极限不存在.
基本公式(如果存在)
利用定积分定义求极限
基本格式(如果存在)
函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类:
第一类间断点
设是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点处的左、右极限都存在,则称是f(x)的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(2)第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。
定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)必在[a,b]上有界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。
定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使得
f(ξ)=c
推论:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得f(ξ)=0这个推论也称为零点定理
第二章导数与微分
设y=f(u),u=ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f[ϕ(x)]在x处可导,且有
对应地,由于公式不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。
设x=ϕ(t),y=确定函数y=y(x),其中存在,且≠0,则
二阶导数
设y=f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且f′(x)≠0
则
4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)
设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y′的方法如下:
把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允许出现y变量)
5对数求导法则(指数类型如)
先两边取对数,然后再用隐函数求导方法得出导数y′。
对数求导法主要用于:①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域P106例6)
关于幂指函数y=[f(x)]g(x)常用的一种方法,y=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
6可微与可导的关系
f(x)在处可微⇔f(x)在处可导。
7求n阶导数(n≥2,正整数)
先求出y′,y′′,……,总结出规律性,然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式
,
,
(5),
微分中值定理与导数应用
一罗尔定理
设函数f(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b)
则存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0
二★拉格朗日中值定理(证明不等式P1349、10)
设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;
则存在ξ∈(a,b),使得
(x)在(a,b)内可导,且f′(x)≡0,则f(x)在(a,b)内为常数。
(x),g(x)在(a,b)内皆可导,且f′(x)≡g′(x),则在(a,b)内f(x)=g(x)+c,其中c为一个常数。
三柯西中值定理
设函数f(x)和g(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上皆连续;(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g′(x)≠0则存在ξ∈(a,b)使得
(注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)
四★泰勒公式(①估值②求极限(麦克劳林)P145T10)
定理1.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)
设f(x)在0x处有n阶导数,则有公式
,称为皮亚诺余项
对常用的初等函数如,sinx,cosx,ln(1+x)和(α为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。
定理2(拉格朗日余项的n阶泰勒公式)
设f(x)在包含0x的区间(a,b)内有n+1阶导数,在[a,b]上有n阶连续导数,则对x∈[a,b],有公式,
,称为拉格朗日余项
上面展开式称为以0x为中心的n阶泰勒公式。当=0时,也称为n阶麦克劳林公式。
导数的应用
一基本知识
设函数f(x)在处可导,且为f(x)的一个极值点,则。
我们称x满足的称为的驻点,可导函数的极值点一定是驻点,反之不然。极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断。
极值点判断方法
①第一充分条件
在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;②若当时,,当时,,则为极小值点;③若在的两侧不变号,则不是极值点.
②第二充分条件
在处二阶可导,且,,则①若,则为极大值点;②若,则为极小值点.
二凹凸性与拐点
设f(x)在区间I上连续,若对任意不同的两点12x,x,恒有
则称f(x)在I上是凸(凹)的。
在几何上,曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下(上)面,则y=f(x)是凸(凹)的。如果曲线y=f(x)有切线的话,每一点的切线都在曲线之上(下)则y=f(x)是凸(凹)的。
2拐点的定义
曲线上凹与凸的分界点,称为曲线的拐点。
3凹凸性的判别和拐点的求法
设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,
如果在(a,b)内的每一点x,恒有>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;
如果在(a,b)内的每一点x,恒有<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。
求曲线y=f(x)的拐点的方法步骤是:
第一步:求出二阶导数;
第二步:求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点;
第三步:对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标;
第四步:求出拐点的纵坐标。
四渐近线的求法
五曲率
第四章不定积分
一基本积分表:
二换元积分法和分部积分法
换元积分法
(1)第一类换元法(凑微分):
(2)第二类换元法(变量代换):
分部积分法
使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。
记住口诀,反对幂指三为,靠前就为,例如,应该是为,因为反三角函数排在指数函数之前,同理可以推出其他。
三有理函数积分
有理函数:
其中是多项式。
简单有理函数:
⑴
⑵
⑶
1、“拆”;
2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).
第五章定积分
一概念与性质
定义:
性质:(10条)