高中数学知识点.doc

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第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:
;
;

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念:集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,
a不属于集合A记作aÏA
列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个
集合的方法:①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xÎR|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分类:


:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:AÍB有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
/B或BÊ/A反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AÍ
2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元
素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
①任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹B那就说集合A是集合B的真子集,记作A
③如果AÍB,BÍC,那么AÍC
Page1of8B(或BA)
④如果AÍB同时BÍA那么A=B
,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1、交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,∩B(读作"A交B"),即A∩
B=
{x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作"A并B"),
即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即AÍS),由S中所有不属于A的元素组成
的
集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作:CSA即CSA={x|xÎS且xÏA}
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(3)性质:⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
四、函数的有关概念
:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯
一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→:y=f(x),x∈,x
叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}
叫做函数的值域.
注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数
的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5),它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
再注意:
(1)构成函数三个要素是定义域、,所以,如果两个函数的定义域
和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:
①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备
)
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值域补充:(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x
∈A)(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),={P(x,y)|y=f(x),x∈A}。图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用:
1、直观的看出函数的性质;
2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A®B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A®B”
给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性,”即强调
从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点:
1函○数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解○析法:必须注明函数的定义域;
3图○象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;
4列○表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.
注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值
补充一:分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应
的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大
括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是
几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
补充二:复合函数:如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)称为f、g的复合函数。例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)

(1)增函数
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设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)=f(x)的单调减区间.
1函注意:○数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
2必○须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)。
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.