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,一次项系数是公差;前n项和是关于n的二次函数,二次项系数是公差之半且常数项为0;即等差数列{}中,=+(为公差,∈),(∈)。证明某数列是等差(比)数列,通常利用等差(比)数列的定义加以证明,即证:an-an-1=常数(=常数)(,也可以证明连续三项成等差(比)数列。
[举例]{}、{}都是各项为正的数列,对任意的,都有、、成等差数列,、、{}是否为等差数列,为什么?
解析:由=得=,于是=(,又2=+,
∴2=+(,即2=+(,∴数列{}是等差数列。
注意:当用定义证明等差(比)数列受阻时,别忘了这“一招”!上述思路的关键是由“=”到“=(”的过渡,即所谓“升降标”,这也是处理数列问题的一个通法。
[巩固]已知等差数列的前项和为,且,则过两点
、的直线的斜率为:
(A)4(B)3(C)2(D)1
[迁移]公差非零的等差数列中,前n项之和为,则数列……中
{an}中,m+n=p+q,则am+an=ap+aq,等比数列{an}中,m+n=p+q,则aman=ap·aq(m、n、p、q∈);等差(等比)数列中简化运算的技巧多源于这条性质。
[举例1]在等差数列中,为常数,则其前( )项和也为常数
(A)6 (B)7 (C)11 (D)12
解析:等差数列的前k项和为常数即为常数,而=3为常数,
∴2=为常数,即前11项和为常数,选C。注意:千万不要以为=
=,那就大错特错了!所谓“下标和相等则对应项的和相等”,是指两项和等于两项和,三项和等于三项和……。等差数列中“n项和”与“两项和(转化为a1+an)”有关,某一项或某几项和均需转化为
“两项和”才能与“n项和”联系起来。
[举例2]等比数列{}中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=
解析:a5(a3+2a5+a7)=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a6)2=9
[巩固]在正项的等差数列{}和正项的等比数列{}中,有,,试比较与的大小。
[迁移]等比数列{}中,、是方程()的两根,则=
若把条件中的“”换成“”呢?若把条件中的“、”换成“、”
呢?
[提高]在等差数列中,前n项之和为,已知S5=25,Sn=64,Sn-5=9,则n=_____
、次n项和、再后n项和(即连续相等项的和)仍成等差数列;等比数列前n项和(和不为0)、次n项和、再后n项和仍成等比数列。
[举例1]在等比数列中,S2=40,S4=60,则S6等于()
A10B70C80D90
解析:在等比数列中,第一个两项和为40,第二个两项和为20(注意:S4是前4项和,不是两项和),则第三个两项和为10,S6为三个两项和相加,选B。
[举例2]在等差数列中,前n项之和为,已知S3=4,S18-S15=12,则S18=
解析:在等差数列中,第一个三项和为4,第六个三项和为12,S18即首项为4,末项为12的等差数列的6项和,为48。
[巩固]在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,已知S5=2-b,S10=4-b,则S15=_________
>0且公差d<0,前n项和存在最大值。利用不等式组:
确定n值,即可求得Sn的最大值。等差数列当首项a1<0且公差d>0时,前n项和存在最小值。类似地确定n值,即可求得sn的最小值;也可视sn为关于n的二次函数,通过配方求最值;还可以利用二次函数的图象来求。
[举例]设等差数列满足3a8=5a13,且a1>0,则的前__________项和最大
解析:思路一:由3a8=5a13得:d=a1,若前n项和最大,则,
又a1>0得:,∴n=20,即的前20项和最大。这一做法最通行。
思路二:Sn=na1+n(n-1)d=na1-n(n-1)a1=-a1(n2-40n),当且仅当n=20时Sn最大。这一做法突显了数列的函数特征。思路三:由3a8=5a13得15a8=25a13,即S15=S25,又∵a1>0,
∴Sn的图象是开口向下的抛物线上的点列,对称轴恰为n=20,故n=20时Sn最大。这一做法中几乎没有运算,但设计太过“精妙”,非对等差数列的性质融会贯通而不能为,仅供欣赏。
[巩固]数列是等差数列,是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是:<=>,S7均为的最大值()
[迁移]在等差数列则在前n项和Sn中最大的负数为
()
:等比数列求和公式是一个分段函数na1(q=1)
Sn=
则涉及到等比数列求和时若公比不是具体数值须分类讨论解题。
[举例]已知等比数列的公比为q,前n项和为Sn,且S3,S9,S6成等差数列,求q3的值。
解析:不可直接用等比数列的求和公式,需讨论:若q=1,S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,则有:
18a1=3a1+6a1,则a1=0,与是等比数列矛盾,∴q≠1,于是有:
,化简得:,∴。
本题还可以用:第一个三项和、第二个三项和、第三个三项和成等比数列解决,留读者自己完成。
[巩固]已知an=1+r+r2+r3+…rn-1,则数列的前n项和=______________
(比)数列有关通项、求和问题时别忘了“基本元”,即把问题转化为首项a1,公差d(或公比q)的方程(组)或不等式(组)去处理。已知等差或等比数列中的任两项也可用am-an=(m-n)d,或=qm-n。
[举例1]等差数列的前n项和Sn,若S3=9,S13=26求S23的值。
解析:用求和公式解方程组,求出a1,d,再代入求和公式中求S23,这是通法。也可简化为:
S3=3a2=9a2=3,S13=13a7=26a7=2,∴a12=1(a2、a7、a12成等差数列),S23=23a12=23。
[举例2]已知等差数列{an}中,a3与a5的等差中项等于2,又a4与a6的等比中项等于6,则a10等于(A)54(B)50(C)26(D)16
解析:a3与a5的等差中项等于2,即a4=2;a4与a6的等比中项等于6,即a6=18;于是2d=16,
a10=a6+4d=50,选B。
[巩固]]已知等差数列{an}的首项a1=120,公差d=-4,若Sn≤an(n>1),则n的最小值为
(A)61 (B)62 (C)63 (D)70
[迁移]等差数列{an}中若am=n,an=m且m≠n求证:am+n=0;
简答
1.[巩固]C,[迁移]视Sn为关于n的二次函数,其图象是经过原点的抛物线上的点,故选B,2.[巩固]==≥=,
[迁移]等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号也相同;-,,±,
[提高]Sn-Sn-5=an+an-1+an-2+an-3+an-4=55,与a1+a2+a3+a4+a5=25两式相加得5(a1+an)=80,得n=8,3.[巩固]6;
4.[巩固]C,[迁移]B,5.[举例]-,[巩固]
6.[巩固]B,