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椭圆的定义:
平面内一动点到两个定点、的距离之和等于常数,,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
椭圆的标准方程
,椭圆的标准方程:,其中;
,椭圆的标准方程:,其中;
注意:
(1)只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
(2)在椭圆的两种标准方程中,都有和;
(3)椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
椭圆的简单几何性质:
椭圆:的简单几何性质
:
对于椭圆标准方程:
以轴、轴为对称轴的轴对称图形;以原点为对称中心的中心对称图形
:
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。
:
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,,,
③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
:
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。
②因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。
注意: 椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):
(1);;;
(2);;;
(3);;;
5,通径:(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦),通径长为.
6,设为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,当三点不在同一直线上时,构成了一个三角形——焦点三角形.
两种椭圆标准方程的区别和联系:
椭圆与的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
,
,
轴长
长轴长=,短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
,
,
注意:椭圆,的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有和,;
不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
规律方法:
1,求椭圆方程的常用方法
(1)待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
(2)定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
2,共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。
3,方程是表示椭圆的条件
方程可化为,即,所以只有同号,且时,方程表示椭圆。
当时,椭圆的焦点在轴上;
当时,椭圆的焦点在轴上。
4,焦点三角形(为椭圆上的点)有关的计算问题
令;
常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。(此处信息量较大)
将有关线段,有关角()结合起来,建立,;
5,椭圆的扁圆程度与离心率的关系
离心率,因为,,即。
显然:当越小时,越大,椭圆形状越扁;当越大,越小,椭圆形状越趋近于圆。
6,点与椭圆的位置关系:
(1)点在椭圆外;
点在椭圆上=1;
(3)点在椭圆内
7,直线与椭圆的位置关系:
若直线与圆锥曲线相交于两点,将直线方程联立曲线方程可得:
(1)相交:直线与椭圆相交;
(2)相切:直线与椭圆相切;
(3)相离:直线与椭圆相离;
8,椭圆的切线方程
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是
9,弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点,则==;
若弦所在直线方程设为,则=。
注意:要注意两种直线方程的应用时的优缺点
(详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用)
10,中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解
抓住两点:中点坐标,弦所在直线斜率
设交点坐标为,,线段的中点为,则由
,将两式相减
(1)斜率问题:;
(2)弦中点轨迹问题时:,即;
(3)要注意:;
(4)直线的方程:;
(5)线段的垂直平分线方程:
椭圆的几何性质练****br/>一,椭圆的几何性质的简单运用
1,已知椭圆的离心率,求的值及椭圆的长轴和短轴的长,焦点坐标,顶点坐标。
2,求与椭圆有相同的焦距,且离心率为的椭圆的标准方程。
3,在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为。过的直线交于两点,且的周长为16,求的方程。
二,求椭圆的离心率
1,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,是椭圆的上顶点,是椭圆的右顶点,是椭圆上的一点,且轴,,求此椭圆的离心率。
2,已知椭圆的左焦点是椭圆的两个顶点,若到直线的距离为,求椭圆的离心率。
3,已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,求的离心率。
4,设椭圆上存在一点,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的取值范围。
三,直线与椭圆的位置关系
1,椭圆的离心率为,且椭圆与直线相交于,且,求椭圆的方程。
2,直线过点与椭圆相交于两点,若为中点,试求直线的方程。
3,已知椭圆的标准方程为,试确定的取值范围,使得对于直线,椭圆上有不同两点关于直线对称。