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一、集合与简易逻辑
,一定要抓住集合的代表元素,如:与及
,解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题;
。原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假;
:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法;
6.(1)含n个元素的集合的子集个数为,真子集(非空子集)个数为-1;
(2)(3)
二、函数
(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=;
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;
=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);
≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
,求反函数,判断函数的奇偶性。
,抓住两点:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:(或(或);
;
函数
(b–ac≠0)
)
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
奇函数
单调性
当b-ac>0时:分别在上单调递减;
当b-ac<0时:分别在上单调递增;
在上单调递增;
在上单调递减;
图象
y
x
o
x=-c
y=a
x
y
o
:
根的情况
等价命题
在上有两根
在上有两根
在和上各有一根
充要条件
注意:若在闭区间讨论方程有实数解的情况,可先利用在开区间上实根分布的情况,得出结果,在令和检查端点的情况。
三、数列
,an={注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出。一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式;
;
;
(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式解决;
、等比数列的定义,通项公式,前n项和公式,在用等比数列前n项和公式时,勿忘分类讨论思想;
,,;在等比数列中,
;
,对等差数列有;对等比数列有;
{an}、{bn}是等差数列,则{kan+pbn}(k、p是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比数列,则{kan}、{anbn}等也是等比数列;
(比)数列,则也是等差(比)数列;
,当项数为偶数时,;项数为奇数时,(即);
=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;
四、三角函数
:一全正,二正弦,三是切,四余弦;
,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;
,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质;
、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800,一般用正余弦定理实施边角互化;
(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线,对称中心为图象与轴的交点;正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与轴的交点,但没有对称轴。
6.(1)正弦平方差公式:sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角形的内切圆半径r=;(3)三角形的外接圆直径2R=
五、平面向量
,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。(1)向量式:a∥b(b≠0)a=b;(2)坐标式:a∥b(b≠0)x1y2-x2y1=0;
,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)向量式:a⊥b(b≠0)ab=0;(2)坐标式:a⊥bx1x2+y1y2=0;
=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab==x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积;
(x1,x2)、B(x2,y2),则S⊿AOB=;
:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;;
(2)若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,;
六、不等式
,注意使用条件;
(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法;
,在使用a+b≥(a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”;注意均值不等式的一些变形,如;
七、直线和圆的方程
(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC的重心G为();
:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0;
+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是;
+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;
(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0;
:(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出可行域,写出目标函数;(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;
八、圆锥曲线方程
:设P(x0,y0)为椭圆(a>b>0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则(e为离心率);
:设P(x0,y0)为双曲线(a>0,b>0)上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:(1)当P点在右支上时,;
(2)当P点在左支上时,;(e为离心率);
另:双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为;
:设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为焦点,则;y2=2px(p<0)上任意一点,F为焦点,则;
;
,≠0);
,
一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长
,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想;
、双曲线的通径(最短弦)为,焦准距为p=,抛物线的通径为2p,焦准距为p;双曲线(a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为b;
,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2+Bx2=1;
=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论:(1)=x1+x2+p;(2)y1y2=-p2,x1x2=;
(a>b>0)左焦点的焦点弦为AB,则,过右焦点的弦;
=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(,y0),以简化计算;
、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆(a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是AB的中点,则KABKOM=;对于双曲线(a>0,b>0),类似可得:=;对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB=
:
(1)直接法:直接通过建立x、y之间的关系,构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法;
(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;
(3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化,并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用x、y的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程;
(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;
(5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。
九、直线、平面、简单几何体
、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
A
:直二面角M-AB-N中,AEM,BFN,∠EAB=,∠ABF=,异面直线AE与BF所成的角为,则
:如图,AB和平面所成的角是,AC在平面内,AC和AB的射影AB成,设∠BAC=,则coscos=cos;
:
(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;
(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系;
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键;
(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;
(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;
(4)射影法:利用面积射影公式S射=S原cos,其中为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;
特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。
(1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算;
(2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解;
(3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解;
,记为,则S侧cos=S底;
:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有cos2+cos2+cos2=1;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;
;
:如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,+F-E=2;并且棱数E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半;
=,表面积公式;掌握球面上两点A、B间的距离求法:(1)计算线段AB的长,(2)计算球心角∠AOB的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧AB的长;
十、排列组合二项式定理和概率
:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列=n(n-1)…21;
:(m≤n),;
:;
:!=(n+1)!-n!;即(1≤r≤n);
:(1)掌握二项展开式的通项:
(2)注意第r+1项二项式系数与第r+1系数的区别;
:
与首末两端等距离的二项式系数相等;
若n为偶数,中间一项(第+1项)的二项式系数最大;若n为奇数,中间两项(第和+1项)的二项式系数最大;
(3)
(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为;偶数项的系数和为;
:(1)P(A)=;(2)互斥事件分别发生的概率公式为:P(A+B)=P(A)+P(B);(3)相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)=P(A)P(B);(4)独立重复试验概率公式Pn(k)=(5)如果事件A、B互斥,那么事件A与、与及事件与也都是互斥事件;(6)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1-P(AB)=1-P(A)P(B);(7)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1-P()=1-P()P();
十一、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
:(1)简单随机抽样(包括抽签符和随机数表法);(2)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形;
:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;
:(1)学会用样本平均数去估计总体平均数;(2)学会用样本去估计总体方差及总体标准差;
十二、导数及应用
:f(x)在点x0处的导数记作;
,求函数的导数步骤为:(1)求函数的增量(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数;
:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是相应地,切线方程是
:
:(1)利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果那么f(x)为增函数;如果那么f(x)为减函数;如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数;
(2)求可导函数极值的步骤:①求导数;②求方程的根;③检验在方程根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值;
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求y=f(x)在(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。