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一、考试要求
1、理解(了解)函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
2、会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点,会求水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
3、了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径(*)
4、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力、质心等)及函数的平均值。(数三、四只要求面积、旋转体的体积及简单的经济应用)
导数的应用
主要涉及如下几个方面
1、求曲线的切线及法线方程
2、判断函数的单调性、凹凸性
3、研究函数的极值和最值
4、证明恒等式(不等式)
5、求渐进线方程
6、函数作图
7、方程根的确定
求曲线的切线与法线方程
1、切线方程
2、法线方程
注:若,切线方程为,法线方程为
若,切线方程为,法线方程为
例1、设是可导的偶函数,它在的某邻域内满足
,
求曲线在点处的切线方程及法线方程。
例2、(021)已知曲线与
在处的切线相同,写出此切线方程,并求极限
函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点
函数的单调性与极值
定理:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
①如果在(a,b)内,则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
②如果在(a,b)内,则函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.
定理:1)(取极值的必要条件)设在达到极大或极小值,并且在的某个邻域内可微,则
2)两个充分条件:
(1)如果存在使得(i)在中有定义;(ii);(iii);则函数在的达到极小值。
类似:在的达到极大值。
(2)如果存在使得(i)在中有定义;(ii);(iii)则函数在的达到极大值。
类似:在的达到极小值。
3函数的最大值、最小值
4函数图形的凹凸性和拐点
1)凹凸性的定义,性质和判别方法(见第六章);
2)拐点的定义:连续曲线上凹凸的分界点。
3)求法:若(或不存在但在连续),则当在的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相反时,是曲线的的拐点;当在的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相同时,不是曲线的的拐点。
例3、已知,则当x>0时,f(x)
(A)单调递减大于零(B)单调递增大于零
(C)单调递减小于零(D)单调递增小于零
例4、设函数f(t)满足tf(t)>0(t¹0),则函数F(x)=
的单调减少区间为
例5、设f(x)在x=0的某邻域内连续,且,则x=0处f(x)
取得极大值(B)取得极小值(C)不可导(D)可导且
例6、(031)设f(x)在内连续,,其导函数的图形如图所示,则f(x)有
(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点
(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点
y
Ox
例7、已知f(x)满足,且,则
(A)f(0)是f(x)的极大值(B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点(D)f(0)不是极值,(0,f(0))不是拐点
例8、(0512,11分)如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线与分别是曲线C在点(0,0),(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分。
例9、设f(x)满足连续
(1)若f(x)在x=c(c¹0)处有极值,证明它是极小值;
(2)若f(x)在x=0处有极值,它是极小值还是极大值?
例10、试求的极值
例11、求函数f(x)=的最大值和最小值
例12、(102)求函数的单调区间与极值.
.
3、利用导数证明不等式
例13、求证:当时,
例14、(991)试证:当x>0时,
例15、(994)证明:当
例16、(0412)设,证明
本题也可设辅助函数为或,再用单调性进行证明即可。
4、函数作图(渐近线)
作图步骤:y=f(x)
(1)确定定义域;
(2)求;
(3)求单调区间、凹凸区间;极值、拐点;
(4)求渐近线;
(5)描点作图。
曲线的渐近线
1)如果(常数),则是曲线的一条水平渐近线;
2)如果,则是曲线的一条垂直渐近线;
3)如果(常数),且(常数),则是曲线的一条斜渐近线;
注上述极限都可以换为单边极限。
例17、运用导数的知识作函数的图形。
例18、(0034)求函数的单调区间和极值及该函数图形的渐近线。
例19(07数1-2)曲线的渐近线的条数----------
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
5求曲线的曲率,曲率半径
设y=f(x):,或曲线,
曲率半径
例20(092)若不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则
在区间内()
(A)有极值点,无零点.(B)无极值点,有零点.
(C)有极值点,有零点.(D)无极值点,无零点.
【答案】应选B
【详解】由题意可知,是一个凸函数,即,
且在点处的曲率,
而,由此可得,,
在上,,即单调减少,没有极值点。
由拉格朗日中值定理,,
所以,而,由零点定理知,在内有零点,故应选(B).
二、定积分的应用
(1)平面图形的面积:
1)y=f(x)与x轴()所围图形的面积
2)
3)
(2)空间立体的体积:
1)已知平行截面面积的立体体积
2)旋转体的体积
(3)(数一\二)平面曲线的弧长:
1),
2)
(4)(数一)旋转体的侧面积:
(5)函数在区间的平均值(数三,四):
(6)(数一)定积分的物理应用(变力作功、引力、压力):用微元法分析,其基本步骤为:
第一步,建立坐标系,选定积分变量,并确定其变化区间;
第二步,在[a,b]内任取小区间[x,x+dx],设想产生该整体量Q的某物理量是不变的,求出的近似值;
第三步,计算
1利用定积分求面积与体积
例21、设在区间[a,b]上函数,令
,则
(A)(B)
(C)(D)
.
例22、设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)<f(x)<m(m为常数),则曲线y=g(x),y=f(x),x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为
(A)
(B)
(C)
(D)
例23、已知曲线上点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为3/4
(1)求A的坐标。
(2)求阴影部分分别绕x轴与直线x=2旋转一周所的旋转体的体积。
例24、已知点A与B的直角坐标为(1,0,0)与(0,1,1),线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积。