文档介绍：第二讲导数与微分一、考试要求1、理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解(了解)导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义(经济意义,含边际和弹性),会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。4、会求分段函数的导数。会求隐函数和由参数方程(*)所确定的函数及反函数的导数。二、内容提要1、导数与微分的定义(1)导数的定义:(2)左右导数:(3)几何意义:切线法线(4)微分的定义:若则dy=A2、导数与微分的运算法则3、求导方法(1)复合函数求导:设y=f(u),u=j(x),则y=f[j(x)]Þ(2)参数方程求导:,(3)隐函数F(x,y)=0求导:三种方法:直接求导、公式法、微分形式不变性(4)对数求导(适用于幂指函数、多项连乘除的情形)(5)高阶导数(6)抽象函数、隐函数求二阶导数三、重要公式与结论1、一般地,1)2)3)这里2、f(x)在x处可微Ûf(x)在x处可导Û3、若f(x)在x=处连续,且若fˊ(x)在x=处连续,且若f″(x)在x=处连续,且若f(x)在x=处连续,且若f(x)在x=处连续,且不存在4、可导的偶(奇)函数,其导函数为奇(偶),、注:在处有则(一阶微分方程)6、可微可导连续7、设,则在处可导的充分必要条件为设,则在处可导的充分必要条件为8、常见导数不存在的情形1)、在x=处导数不存在,但在处可导2),在x=0处当α>1时导数存在;α≤、典型题型与例题题型一、有关导数的定义及性质分段函数在分界点处的导数已知极限求,或已知求极限涉及抽象函数的导数抽象函数没给出可导的条件,考察在某点处的可导性或导函数例1、设,则在处可导的为()(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在例2、设在处连续,且,则()例3、(0634)设在处连续,且,则(A)且(B)且(C)且(D)且例4、(04123)设函数连续,且,则存在,使得(A)在内单调增加(B)在内单调减少(C)对(D)对例5、设是以4为周期的函数,且,则例6、设可导,,则()(A)-1(B)(C)1(D)、设函数f(x)在x=1处连续,且是周期为2的周期函数,满足求曲线y=f(x)过点x=-1处的切线方程为例8、曲线与曲线相切,则=(A)4e(B)3e(C)2e(D)e【】题型二、分段函数的导数方法:1、利用2、设,则在处可导的充分必要条件为3、设,则在处可导的充分必要条件为例9、设在处可导,求例10、设,则在处(A)不连续(B)连续但不可导(C)可导但在不连续(D)可导且在连续例11、求函数的不可导点。例12、(034)设,其中在处连续,则是在处可导的(A)充