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一、函数
:在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。
注:变量还分为自变量和因变量。
:在某一变化过程中,有些量的数值始终不变,我们称它们为常量。
:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数,y的值称为函数值.
:(1)表达式法(解析式法);(2)列表法;(3)图象法.
a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法)。
b、由一个函数的表达式,列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值(有序的)看成点坐标,在坐标平面内描点,进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
.
(1)要使函数的表达式有意义:a、整式(多项式和单项式)时为全体实数;b、分式时,让分母≠0;c、含二次根号时,让被开方数≠0。
(2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
:把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值.
:
Step1:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
Step2:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
Step3:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来).
A、给出解析式让你判断:可给x值来求y的值,若y的值唯一确定,则y是x的函数;否则不是。
B、给出图像让你判断:过x轴做垂线,垂线与图像交点多余一个(≥2)时,y不是x的函数;否则y是x的函数。
二、正比例函数
:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。注意点a、自变量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;b、比例系数k≠0;c、不含有常数项,只有x一次幂的单项而已。
:一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx.
当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限(正奇),从左向右上升,即随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限(负偶),从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
k>0,撇一三象限
从左到右上升
Y随x的增大而增大
X
Y
X
Y
K<0,捺二四象限
从左到右下降
Y随x的增大而减小
画正比例函数的最简单方法:
(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线.
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象。
三、一次函数
:一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,当b=0时,y=kx+b即y=kx,、自变量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;b、比例系数k≠0;c、常数项可有可无。
=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
:k表征直线的倾斜程度,k值相同的直线相互平行,k不同的直线相交。
系数b的意义:b是直线与y轴交点的纵坐标。
当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升,即随着x的增大y也增大。
当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。
直线y=kx+b与y轴的交点是点(0,b)
与x轴的交点是点(-,0)
k>0,撇
b>0,与y轴交点在x轴上方
一二三象限
从左到右上升
Y随x的增大而增大
k>0,撇
b<0,与y轴交点在x轴下方
一三四象限
从左到右上升
Y随x的增大而增大
K<0,捺
b>0,与y轴交点在x轴上方
一二四象限
从左到右下降
Y随x的增大而减小
K<0,捺
b<0,与y轴交点在x轴下方
二三四象限
从左到右下降
Y随x的增大而减小
:
(1)先选取两点,通常选出点(0,b)与点(-,0);
(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);
(3)过点(0,b)与点(-,0)做一条直线.
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
:根据已知的自变量与函数的对应值,或函数图像直线上的点坐标。步骤:
a、写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这些系数,因此叫做待定系数).
b、把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)即x、y的值代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.(有几个待定系数,就要有几个方程)
c、解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析式.
求解析式:解析式未知,但知道直线上两个点坐标,将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组,求出k、b的值在带回解析式中就求出解析式了。
求直线上点坐标:解析式已知,但点坐标只知道横纵坐标中得一个,将其代入解析式求出令一个坐标值即可。
四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值y=0时,求相应的自变量x的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
五、一次函数与一元一次不等式
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看出:当一次函数值y大(小)于0时,求自变量x相应的取值范围.
用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分,然后判断这部分线的x的取值范围。
六、一次函数与二元一次方程(组)
=-x+与y=2x-1图象的交点坐标。
:将两条直线的解析式组成方程组,求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。
一次函数测试题姓名
(满分100分)
一、填空题(每题2分,共20分)
1、在同一直角坐标系中,对于函数:①y=–x–1;②y=x+1;③y=–x+1;④y=–2(x+1)的图象,下列说法正确的是()
A、通过点(–1,0)的是①和③B、交点在y轴上的是②和④
C、相互平行的是①和③D、关于x轴对称的是②和③
2、已知函数y=,当x=a时的函数值为1,则a的值为( )
B.-1 C.-3
3、函数y=kx的图象经过点P(3,-1),则k的值为( )
B.-3 C. D.-
4、下列函数中,图象经过原点的为( )
=5x+1 =-5x-1
=— =
5、5、点A(–5,y1)和B(–2,y2)都在直线y=–x上,则y1与y2的关系是()
A、、y1≤y2B、y1=y2C、y1<y2D、y1>y2
6、函数y=k(x–k)(k<0)的图象不经过()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
7、要从y=x的图像得到直线y=,就要把直线y=x()
(A)向上平移个单位(B)向下平移个单位
(C)向上平移2个单位(D)向下平移2个单位
8、一水池蓄水20m3,打开阀门后每小时流出5m3,放水后池内剩下的水的立方数Q(m3)与放水时间t(时)的函数关系用图表示为( )
9、已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是()
(A)(B)(C)(D)
,小红从家里出发去散步,图描述了她散步过程中离家s(米)与散步所用的时间t(分),下面描述符合小红散步情景的是()
(A) 从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了(B)从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.
S(米)
18(分)
(C)从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,
继续向前走了一会,然后回家了.
(D)从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后
才开始返回.
二、填空题(每题2分,共12分)
.
=-2xm+2+n-2正比例函数,则m的值是,n的值为________.
=kx+b平行于直线y=5x+3,且过点(2,-1),则k=______,b=______.
:一次函数的图象经过A、B两点,则△AOC
的面积为___________.
,若输入的x值为,
则输出的结果为.
,每条边上有n(n>2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.
n=4
S=12
n=2
S=4
n=3
S=8
按此规律推断出S与n的关系式为.
二、解答题(共68分)
17.(4分)已知一个一次函数,当时,;当时,,求这个一次函数的解析式已知,直线经过点A(3,8)和B(,).求:
(1)k和b的值;(2)当时,y的值.
19.(6分)已知与成正比,且当时,.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若点(a,2)在这个函数图象上,求a.
20.(6分)利用图象解方程组
21.(6分)已知函数,
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.
22.(6分)作出函数的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)当-2≤x≤4时,求函数y的取值范围;
(2)当x取什么值时,y<0,y=0,y>0?
(3)当x取何值时,-4<y<2?
B
3
5
O
y
t
A
C
23.(10分)图中折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话时所需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系图像.
(1)从图像知,通话2分钟需付的电话费是元.
(2)当t≥3时求出该图像的解析式(写出求解过程).
(3)通话7分钟需付的电话费是多少元?
24.(10分)某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
x(元)
15
20
25
…
y(件)
25
20
15
…
(2)求销售价定为30元时,每日的销售利润.
25.(12分)某公司在A、B两地分别有库存机器16台和12台,现要运往甲、乙两地,其中甲地15台,,到乙地为400元;从B地运一台到甲地的运费为300元,到乙地为600元.
(1)设从A地运往甲地机器x台,求总费用y与x之间的函数关系式。
(2)公司应设计怎样的调运方案,能使这些机器的总运费最省?