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一、数列的概念
(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为的项叫第项(也叫通项)记作;
数列的一般形式:,,,……,,……,简记作。
例:判断下列各组元素能否构成数列
(1)a,-3,-1,1,b,5,7,9;
(2)2010年各省参加高考的考生人数。
(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如:①:1,2,3,4,5,…
②:…
数列①的通项公式是=(7,),
数列②的通项公式是=()。
说明:
①表示数列,表示数列中的第项,=表示数列的通项公式;
②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,==;
③不是每个数列都有通项公式。例如,1,,,,……
(3)数列的函数特征与图象表示:
序号:123456
项:456789
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……,,…….通常用来代替,其图象是一群孤立点。
例:画出数列的图像.
(4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
(1)1,2,3,4,5,6,…(2)10,9,8,7,6,5,…
(3)1,0,1,0,1,0,…(4)a,a,a,a,a,…
(5)数列{}的前项和与通项的关系:
例:已知数列的前n项和,求数列的通项公式
练习:
,写出它的通项公式:
(1)1,3,5,7……;
(2),,,;
(3),,,。
(4)9,99,999,9999…
(5)7,77,777,7777,…
(6)8,88,888,8888…
,已知
(1)写出,,,,;
(2)是否是数列中的项?若是,是第几项?
3.(2003京春理14,文15)在某报《自测健康状况》的报道中,,用适当的数填入表中空白(_____)内。
4、由前几项猜想通项:
根据下面的图形及相应的点数,在空格及括号中分别填上适当的图形和数,写出点数的通项公式.(1)
(4)
(7)
()
()
,并阅读下面的文字,像这样,10条直线相交,交点的个数最多是(),其通项公式为.
2条直线相交,最多有1个交点
3条直线相交,最多有3个交点
4条直线相交,最多有6个交点
二、等差数列
题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
例:等差数列,
题型二、等差数列的通项公式:;
说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列,为递减数列。
例:,等于()
,公差的等差数列,如果,则序号等于
(A)667(B)668(C)669(D)670
,则为为(填“递增数列”或“递减数列”)
题型三、等差中项的概念:
定义:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。其中
,,成等差数列即:()
例:1.(14全国I)设是公差为正数的等差数列,若,,则()
. .
,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是()
题型四、等差数列的性质:
(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;
(3)在等差数列中,对任意,,,;
(4)在等差数列中,若,,,且,则;
题型五、等差数列的前和的求和公式:。(是等差数列)
递推公式:
例:,,那么
(A)14(B)21(C)28(D)35
2.(2015湖南卷文)设是等差数列的前n项和,已知,,则等于()
3.(2015全国卷Ⅰ理)设等差数列的前项和为,若,则=
4.(2015重庆文)(2)在等差数列中,,则的值为()
(A)5(B)6(C)8(D)10
,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有()
,若
7.(2014全国卷Ⅱ理)设等差数列的前项和为,若则
8.(2014全国)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项bn;
,,其前10项的和,则其公差等于()
.
10.(2015陕西卷文)设等差数列的前n项和为,若,则
11.(2013全国)设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn。
,已知
①求通项;②若=242,求
,(1)已知;(2)已知;(3)已知
:
(1)若项数为偶数,设共有项,则①偶奇;②;
(2)若项数为奇数,设共有项,则①奇偶;②。
,仍成等差数列。
例:{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()
,前2项的和为60,则前3项的和为。
,前100项和为10,则前110项和为
,=
5.(2015全国II)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=
A. . D.
:
①定义法:
是等差数列
②中项法:
是等差数列
③通项公式法:
是等差数列
④前项和公式法:
是等差数列
例:,则数列为()
,则数列为()
,则数列为()
,则数列为()
,则数列为()
=8,()
①求数列的通项公式;
7.(14天津理,2)设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是()
,但不是等差数列 ,但不是等比数列
,而且也是等比数列
(1),时,有最大值;,时,有最小值;
(2)最值的求法:①若已知,的最值可求二次函数的最值;
可用二次函数最值的求法();②或者求出中的正、负分界项,即:
若已知,则最值时的值()可如下确定或。
例:,,则前项的和最大。
,已知
①求出公差的范围,
②指出中哪一个值最大,并说明理由。
3.(12上海)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()
<0 =>S5
(),则数列的前30项中最大项和最小项分别是
,其中,公差。
(1)数列从哪一项开始小于0?
(2)求数列前项和的最大值,并求出对应的值.
,其中,公差,若,求数列前项和的最大值.
,,,求的最大值.
.
.(1)试写出数列的前5项;(2)数列是等差数列吗?(3)你能写出数列的通项公式吗?
=2n2,求数列的通项公式;
,前和
①求证:数列是等差数列
②求数列的通项公式
5.(2015安徽文)设数列的前n项和,则的值为()
(A)15(B)16(C)49(D)64
等比数列
等比数列定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即::。
一、递推关系与通项公式
在等比数列中,,则
在等比数列中,,则
3.(2014重庆文)在等比数列{an}中,a2=8,a1=64,,则公比q为()
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
,,,则=
,首项,前三项和为21,则()
A33B72C84D189
二、等比中项:若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件.
例:()
2.(2013重庆卷文)设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=()
A. B. C. D.
三、等比数列的基本性质,
1.(1)
(2)
(3)为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
(4)既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
例:,和是方程的两个根,则()
,已知,,则=
,
①求
②若
,且()
+
5.(2014广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时,()
.
例:,公比,则其前n项和
,公比,当项数n趋近与无穷大时,其前n项
和
,已,求和
4.(2015年北京卷)设,则等于()
A. . D.
5.(2014全国文,21)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q;
,前n项和为S n,若Sn+1,S n,Sn+2成等差数列,则q
的值为.
,是其前n项的和,,那么,,成等比数列.
例:1.(2014辽宁卷理)设等比数列{}的前n项和为,若=3,则=
,前2项的和为60,则前3项的和为()
,且
(1)定义法:为等比数列;
(2)中项法:为等比数列;
(3)通项公式法:为等比数列;
(4)前项和法:为等比数列。
为等比数列。
例:,则数列为()
,则数列为()
,则数列为()