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知识点归纳:
1、三角形相似的判定方法
(1)定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角
形与原三角形相似。
(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两
个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。
(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相
似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
(6)判定直角三角形相似的方法:
①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,
那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,
则有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC, (2)(AB)2=BD·BC,
(3)(AC)2=CD·BC。
注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。即(AB)2+(AC)2=(BC)2。
典型例题:
例1如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,CG‖AB,BG分别交AD,AC于E、F,求证:BE2=EF·EG
证明:如图,连结EC,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠ABC=∠ACB,AD垂直平分BC
∴BE=EC,∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2,
即∠3=∠4,又CG∥AB,∴∠G=∠3,∴∠4=∠G
又∵∠CEG=∠CEF,∴△CEF∽△GEC,∴=
∴EC2=EG·EF,故EB2=EF·EG
【解题技巧点拨】
本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质,=EC,把原来处在同一条直线上的三条线段BE,EF,EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
例2已知:如图,AD是Rt△ABC斜BC上的高,E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于F,求证:=
证法一:如图,在Rt△ABC中,∵∠BAC=Rt∠,AD⊥BC,
∴∠3=∠C,又E是Rt△ADC的斜边AC上的中点,
∴ED=AC=EC,∴∠2=∠C,又∠1=∠2,∴∠1=∠3,
∴∠DFB=∠AFD,∴△DFB∽△AFD,∴=(1)
又AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,∴Rt△ABD∽Rt△CAD,∴=(2)
由(1)(2)两式得=,故=
证法二:过点A作AG∥EF交CB延长线于点G,则=(1)
∵E是AC的中点,ED∥AC,∴D是GC的中点,又AD⊥GC,∴AD是线段GC的垂直平分线,∴AG=AC(2)
由(1)(2)两式得:=,证毕。
 【解题技巧点拨】
本题证法中,通过连续两次证明三角形相似,得到相应的比例式,然后通过中间比“”过渡,使问题得证,证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论,三角形的中位线的判定,线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证.
一、如何证明三角形相似
例1、如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽∽。
例2、已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,
求证:△ABC∽△BCD
例3:已知,如图,D为△ABC内一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作
∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD
求证:△DBE∽△ABC
例4、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC边的三等分点,连结AE、AF、AC,问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例5、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:DFAC=BCFE
例6:已知:如图,在△ABC中,∠BAC=900,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,交BA的延长线于点D。
求证:(1)MA2=MDME;(2)
例7:如图△ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证:AE:ED=2AF:FB。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8:已知:如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且。求证:∠AEF=∠FBD
例9、在平行四边形ABCD内,AR、BR、CP、DP各为四角的平分线,求证:SQ∥AB,RP∥BC
例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点,且AB∥ED,BC∥FE,求证:AF∥CD
例11、直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BCDE是正方形,AE交BC于F,FG∥AC交AB于G,求证:FC=FG
例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E,交斜边上的高AD于O,过O引BC的平行线交AB于F,求证:AE=BF
课后作业
一、填空题
:在△ABC中,P是AB上一点,连结CP,当满足条件∠ACP=____或∠APC= _____或AC2=______时,
△ACP∽△ABC.
∶9,面积之和为291,则面积分别是____________。
,DEFG是Rt△ABC的内接正方形,若CF=8,DG=4,则BE=__________。
,直角梯形ABCD中,AD‖BC,AD⊥CD,AC⊥AB,已知AD=4,BC=9,则AC=____________。
5.△ABC中,AB=15,AC=9,点D是AC上的点,且AD=3,E在AB上,△ADE与△ABC相似,则AE的长等于_____________。
,在正方形网格上画有梯形ABCD,则∠BDC的度数为______________。
7.△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BC=1,BD平分∠ABC交于D,则BD=_______,AD=______,设AB=x,则关于x的方程是______________.
,已知D是等边△ABC的BC边上一点,把△ABC向下折叠,折痕为MN,使点A落在点D处,若BD∶DC=2∶3,则AM∶MN=_________________。
二、选择题
,在正△ABC中,D、E分别在AC、AB上,且,AE=BE,则有()
A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD
,在△ABC中,D为AC边上一点,∠DBC=∠A,BC=,AC=3,则CD的长为()
B. D.
,□ABCD中,G是BC延长线上一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F,则图中相似三角形共有()
△ABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有()
,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,若在AB上取一点P,使以
P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似,这样的P点有()
 三、解答下列各题
,长方形ABCD中,AB=5,BC=10,点P从A点出发,沿AB作匀速运动,1分钟可以到达B点,点Q从B点出发,沿BC作匀速直线运动,1分钟可到C点,现在点P点Q同时分别从A点、B点出发,经过多少时间,线段PQ恰与线段BD垂直?
 :如图,正方形DEFG内接于Rt△ABC,EF在斜边BC上,EH⊥:(1)△ADG≌△HED;(2)EF2=BE·FC
 
(答案)
例1分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2,所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2(对顶角),由AB∥DG可得∠4=∠G,所以△EGC∽△EAB。
例2分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。
证明:∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°
在△ABC和△BCD中,∠C为公共角,∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD
例3分析:由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。
证明:在△CBE和△ABD中,∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即:=
△DBE和△ABC中,∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC
例4分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻找相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:
如图:称为“平行线型”的相似三角形
(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
(3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及△EAF与△ECA
解:设AB=a,则BE=EF=FC=3a,
由勾股定理可求得AE=,在△EAF与△ECA中,∠AEF为公共角,且所以△EAF∽△ECA
例5分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF:FE=BC:AC,再利用相似三角形或平行线性质进行证明:
证明:过D点作DK∥AB,交BC于K,
∵DK∥AB,∴DF:FE=BK:BE
又∵AD=BE,∴DF:FE=BK:AD,而BK:AD=BC:AC
即DF:FE=BC:AC,∴DFAC=BCFE
例6证明:(1)∵∠BAC=900,M是BC的中点,∴MA=MC,∠1=∠C,
∵DM⊥BC,∴∠C=∠D=900-∠B,∴∠1=∠D,
∵∠2=∠2,∴△MAE∽△MDA,∴,∴MA2=MDME,
(2)∵△MAE∽△MDA,∴,∴
评注:命题1如图,如果∠1=∠2,那么△ABD∽△ACB,AB2=ADAC。
命题2如图,如果AB2=ADAC,那么△ABD∽△ACB,∠1=∠2。
例7分析:图中没有现成的相似形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作?观察要证明的结论,紧紧扣住结论中“AE:ED”的特征,作DG∥BA交CF于G,得△AEF∽△DEG,。与结论相比较,显然问题转化为证。
证明:过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)(1)
∵D为BC的中点,且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线,(2)将(2)代入(1)得:
例8分析:要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相似三角形,等边对等角等方法来实现,本题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相似三角形来证,但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似(一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中),所以证明本题的关键是构造相似三角形,
证明:作FG⊥BD,垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k,AE=DF=2k,BD=
∵∠ADB=450,∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴
又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD
例9分析:要证明两线平行较多采用平行线的判定定理,但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB,只需证明AR:AS=BR:DS。
证明:在△ADS和△ARB中。
∵∠DAR=∠RAB=∠DAB,∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR
但△ADS≌△CBQ,∴DS=BQ,则,∴SQ∥AB,同理可证,RP∥BC
例10分析:要证明AF∥CD,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD,只要证明即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明:∵AB∥ED,BC∥FE∴,∴两式相乘可得:
例11分析:要证明FC=FG,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG,首先要找出与FC、FG相关的比例线段,图中与FC、FG相关的比例式较多,则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡,最终必须得到(“?”代表相同的线段或相等的线段),便可完成。
证明:∵FG∥AC∥BE,∴△ABE∽△AGF则有而FC∥DE∴△AED∽△AFC
则有∴又∵BE=DE(正方形的边长相等)∴,即GF=CF。
例12证明:∵CO平分∠C,∠2=∠3,故Rt△CAE∽Rt△CDO,∴
又OF∥BC,∴又∵Rt△ABD∽Rt△CAD,∴,即∴AE=BF。
一、∠B、∠ACB、AP·,°,1,x2-x-1=∶8
二、
三、.(1)(略)(2)证△GFC∽△BED16.(1)证△BFD≌△DGC和△BAD≌△DAC;(2)证△ABD∽△ABE。△ABC∽△ACP和证△ABD∽△ADP19.(1)略(2)由(1)的结论和证Rt△ADC∽Rt△CDB即得。20.(1)略(2),则==,得BD=100,BC=64,故△ABD∽△BDC
△ABC中,作∠ACG=∠E,CG交AB于点G,在△DEF中,作∠EFH=∠A,FH交DE于点H,直线CG、FH就是所求的分割线。