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(一)长方体和正方体
长方体和正方体的特征:
形体
面
顶点
棱
关系
长方体
6个
至少4个面
是长方形
相对面
完全相同
8个
12
条
相对的棱
长度相等
正方体
是特殊
的长方
体
正方体
6个
正方形
6个面完全相同
8个
12
条
12条棱长度都相等
长方体和正方体的表面积:
概念:长方体或正方体6个面的总面积,叫做它们的表面积
计算公式:长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
或
正方体的棱长总和=棱长×12
正方体表面积=棱长×棱长×6或
注:不足6个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸、无盖纸盒等等。
体积(容积)单位进率换算:
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升
1L=1000L1L=1L
长方体和正方体的体积(容积):
概念:物体所占空间的大小叫做它们的体积(容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积)。
计算公式:
长方体体积公式=长×宽×高或
正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或
长方体和正方体的体积=底面积×高或
正方体棱上分割表面涂色:三面涂色有8个,
两面涂色有(n-2)×12个
一面涂色有(n-2)2×6个
没有涂色有(n-2)3个
(二)分数乘法
分数与整数相乘及实际问题:
:用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。
注:【任何整数都可以看作为分母是1的分数】
,可以用乘法计算。
,确定单位1的量,想单位1的几分之几是哪个数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。
分数与分数相乘及连乘:
:用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。
:通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
,积小于原数;一个数与比1大的数相乘,积大于原数。
倒数的认识:
。
(不为0)的倒数,只要将这个数的分子与分母交换位置。【整数是分母为1的分数】
,0没有倒数。
(或者说不大于1);真分数的倒数都大于1。
(三)分数除法
分数除法:
:甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
:可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】
,商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。
:已知一个数的几分之几是多少,求这个数?可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
注:在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少
比的认识:
:比表示两个数相除的关系。
、除法的关系:
相互关系
区别
比
前项
比号(:)
后项
比值
关系
分数
分子
分数线(-)
分母
分数值
数
除法
被除数
除号(÷)
除数
商
运算
:比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
:比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
:比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。
:运用比的基本性质对比进行化简,方法:先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
注:化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】
:将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法来计算。
(四)解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是大杯的,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装8个,大盒里装了多少个球?小盒呢?
分析:假设6个全是小盒球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个小盒:(80-8)÷6=12大盒:12+8=20检验
先假设再比较(与条件不符)进行调整得出结果检验
(五)分数四则混合运算
分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:
加法的结合律:
乘法的交换律:
乘法的结合律:
乘法的分配律:
稍复杂的分数乘法实际问题:
(是)乙的几分之几
几分之几=甲÷乙;甲=乙×几分之几;乙=甲÷几分之几;
(是)总量的几分之几,求乙?
乙=总量-甲×几分之几
(增加、上升、提高)几分之几
几分之几=(甲-乙)÷乙;甲=乙×(1+几分之几);
乙=甲÷(1+几分之几)
(减少、下降、降低)几分之几
几分之几=(甲-乙)÷甲;甲=乙÷(1-几分之几);
乙=甲×(1-几分之几)
(六)百分数
百分数的意义及读写:
:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。
:百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。
注:百分数后面不带单位名称。(常出现在判断题中)
百分数与小数的互化:
百分数与分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:
公式:(一个数÷另一个数)×100%
生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷产品总数×100%
出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%
出油率=油的重量÷油料重量×100%
命中率=命中次数÷总次数×100%
及格率=及格人数÷参加考试人数×100%
纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:利息=本金×利率×存期
折扣问题:折扣=实际售价÷原售价×100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
、解题方法完全相同。
,找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。
,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。