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指数函数、对数函数与幂函数
人教版高中数学B版必修二
一
二
一、幂函数的定义
=2x与y=x2的自变量的特征,y=x2是指数函数吗?
提示:函数y=2x是前面刚学过的指数函数,==x2不是指数函数,而是本节课将要学习的幂函数.
?
提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分别为一次函数和二次函数,=x与二次函数中的y=x2才是本节课研究的结构形式,能称为幂函数.
.
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
一
二
二、函数y=x,y=x2,y=x3,,y=x-1的图像与性质
.
回答以下问题:
(1)仅考虑第一象限内的图像,这五个函数的图像都过哪个定点?
提示:点(1,1).
(2)函数y=x,y=x2,y=x3,图像所过公共点是哪个?
提示:点(0,0),点(1,1).
(3)这五个函数的图像均不过哪个象限?你能发现更一般的结论吗?
提示:上述五个函数的图像均不过第四象限,一般地,对幂函数y=xα而言,当x>0时,必有y>0,故幂函数的图像不过第四象限.
一
二
2.(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?
提示:重要性质:①定义域为R,图像都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图像关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)内为增函数.
(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?
提示:重要性质:①定义域、值域为R,图像都过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图像关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上是增函数.
(3)当x∈[0,+∞),α>1与0<α<1时,幂函数y=xα的图像有何不同?
提示:两者图像的区别和联系:无论α>1还是0<α<1,函数y=xα在[0,+∞)内都是增函数,但在[0,1]内前者比后者增得慢,在(1,+∞)上前者比后者增得快.
一
二
:
·
一
二
一
二
三、幂函数共有的性质
(0,+∞)上都有定义.
(1,1).
>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,1),且在(0,+∞)上单调递增.
<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
:已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+∞)上的增函数,则m的值为 . 
答案:-1
解析:由题意知m2-m-1=1,
∴m2-m-2=0,
∴m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x-13,不符合题意,故舍去;
当m=-1时,f(x)=x2,符合题意,故m的值为-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
幂函数的概念
例1(1)已知点M在幂函数f(x)的图像上,则f(x)的解析式为( )
(x)=x2 (x)=x-2
(2)下列函数中,是幂函数的为 .(填序号) 
④y=x2+x;⑤y=-x3.
答案:(1)B (2)①③
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思维辨析
∴α=-2.∴y=x-2.
(2)①③的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此①③是幂函数;②中x2的系数为2,因此不是幂函数;④是由两个幂函数相加而成的函数,因此不是幂函数;⑤不符合幂函数中xα前的系数为1的条件,因此不是幂函数.
反思感悟幂函数的判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.
(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.
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思维辨析
比较大小
例2比较下列各组数的大小:
(2)(-)3,(-)3.
(3)-1,-1,-2.
(4),,.
分析:(1)借助函数y=;(2)借助函数y=x3;(3)借助函数y==x-1;(4)利用中间值法.
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