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:y=ax2+bx+c(a≠0);
一、二次函数的解析式
:y=a(x-m)2+n(其中(m,n)为抛物线的顶点坐标);
:y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1,x2为抛物线与x轴两交点
的横坐标);
注:求二次函数的解析式,,
要根据题设条件,合理地设出解析式.
二、二次函数的图象
有关知识:图象形状;对称轴;顶点坐标;与x轴交点坐标;
截x轴线段长.
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三、二次函数的性质
>0时,抛物线开口向上,函数在(-∞,-]上单调递
减,在[-,+∞)上单调递增,当x=-时,f(x)取得最小值,
为 .
2a
b
2a
b
2a
b
4a
4ac-b2
<0时,抛物线开口向下,函数在(-∞,-]上单调递
增,在[-,+∞)上单调递减,当x=-时,f(x)取得最大值,
为 .
2a
b
2a
b
2a
b
4a
4ac-b2
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四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值
[m,n],则
(1)当x0<m时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);
(2)当x0>n时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).
五、不等式ax2+bx+c>0恒成立问题
=-∈[m,n],则f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)中
的较大者即为f(x)在[m,n]上的最大值.
2a
b
4a
4ac-b2
+bx+c>0在R上恒成立.
a>0
△=b2-4ac<0,
a=b=0
c>0.
或
ax2+bx+c<0在R上恒成立.
a<0
△=b2-4ac<0,
a=b=0
c<0.
或
(x)=ax2+bx+c>0(a>0)在[m,n]上恒成立.
f(m)>0,
-<m
2a
b
△=b2-4ac<0,
m≤-≤n
2a
b
或
f(n)>0.
->n
2a
b
或
f(x)min>0(x∈[m,n])
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f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)在[m,n]上恒成立.
f(n)<0.
f(m)<0
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△>0
△=0
△<0
判别式
△=b2-4ac
六、二次函数与方程、不等式的关系
o
(a>0)的图象
二次函数
y=ax2+bx+c
x
y
x1
x2
x1=x2
x
y
o
o
x
y
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
{x|x1<x<x2}
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
没有实根
有两相等实根
x1=x2=-
2a
b
(a>0)的解集
R
ax2+bx+c>0
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠-}
2a
b
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七、典型例题
(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
解法一:利用二次函数的一般式.
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则
4a+2b+c=-1,
a-b+c=-1,
=8.
4a
4ac-b2
a=-4,
b=4,
c=7.
解得
解法二:利用二次函数的顶点式.
设f(x)=a(x-m)2+n,
∵f(2)=f(-1)=-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
1
2
∴m=.
1
2
又f(x)的最大值是8,
∴n=8.
∴f(x)=a(x-)2+8,
1
2
∵f(2)=-1,
∴a(2-)2+8=-1,
1
2
∴a=-4.
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.
1
2
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解法三:利用二次函数的两根式.
由已知f(x)+1=0的两根为2和-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而f(x)=a(x-2)(x+1)-1.
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又f(x)的最大值是8,
4a
4a(-2a-1)-a2
∴=8,
解得a=-4或a=0(舍去).
故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.
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=4a(x-a)中a>0,且S=(x-3)2+y2的最小值为4,求参数a的值.
解:由已知S=(x-3)2+y2=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.
∵当x≥a时,S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2的最小值为4,
∴对正数a,可分情况讨论如下:
(1)当3-2a<a,即a>1时,函数S(x)在[a,+∞]上是增函数.
∴S(x)min=S(a)=(a-3)2.
由(a-3)2=4得:a=1或5.
∵a>1,∴a=5.
(2)当3-2a≥a,即0<a≤1时,
S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.
由12a-8a2=4得:
a=1或,
1
2
均满足0<a≤1.
1
2
综上所述,参数a的值为 或1或5.
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(x)=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点,且不等式ax2+bx+c>0的解集是(-,),求a,b,c的取值范围.
1
2
1
3
解:由已知,二次方程ax2+bx+c-25=0有实根.
∴△=b2-4a(c-25)≥0.
又不等式ax2+bx+c>0的解集是(-,),
1
2
1
3
∴a<0,且有-=-,=-.
1
6
1
6
a
b
a
c
∴b=a,c=-a>0.
1
6
1
6
∴b=-c,
c2+24c(c-25)≥0.
解得:c≥24.
∴b≤-24,a≤-144.
故a,b,c的取值范围分别是a≤-144,b≤-24,c≥24.
代入b2-4a(c-25)≥0得:
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