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(何老师概括)
一:比率的性质及平行线分线段成比率定理
(一)有关观点:
:两条线段的比就是两条线段长度的比
a
m
a,b的长度分别为
m,n,那么就说这两条线段
在同一长度单位下两条线段
b
n
a:b=m:n;
此中a叫做比的前项,b叫做比的后项
的比是,或写成
2:比率尺=
图上距离/实质距离
3:成比率线段:在四条线段a,b,c,d中,假如此中两条线段的比等于此外两条线段的比,
那么这四条线段叫做成比率线段,简称比率线段,记作:
b
d
a
(或a:b=c:d)
c
①线段a,d叫做比率外项,线段
b,c叫做比率内项,
②线段a叫首项,d叫a,b,c
的第四比率项。
③比率中项:若a
b即b2
a
c
,
则b是ac的比率中项.
b
c
,
(二)比率式的性质
:a
c
ad
bc
b
d
合比:若a
c,则ab
c
d或
a
d
c
2.
b
d
b
d
b
a
c
等比:若a
c
e
m
k(若b
d
f
n
0)
3.
b
d
f
n
则a
c
e
m
a
m
k
b
d
f
n
b
n
4、黄金切割:
把线段AB分红两条线段
AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比率中项,
5
1
叫做把线段AB黄金切割,点C叫做线段AB的黄金切割点,此中AC=
,
2
(三)平行线分线段成比率定理
平行线分线段成比率定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比率.
如图:当AD∥BE∥CF时,都可获得=.=,=,
语言描绘以下:=,=,=.
(4)上述结论也合适以下状况的图形:
图(2)图(3)图(4)图(5)
:平行于三角形一边的直线截其余两边(或两边的延伸线)所得的对应线段成比率.
DE
l1
D
E
A
l1
A
A
D
El2
A
l2
D
E
l3
l3
B
C
B
C
B
C
B
C
A型
X型
由DE∥BC可得:AD
AE或BD
EC或AD
AE.
DB
ECAD
EAABAC
推论的逆定理:假如一条直线截三角形的两边(或两边的延伸线)所得的对应线段成比率.
那么这条直线平行于三角形的第三边.
如上图:若=.=,=,则AD∥BE∥CF
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比率式证平行线.
定理:平行于三角形的一边,并且和其余两边订交的直线,所截的三角形的三边与原三角形
..........
三边对应成比率.
..
二:相像三角形:
(一):定义:
1:对应角相等,对应边成比率的三角形,叫做相像三角形。用符号“∽”表示,
2:相像比:相像三角形的对应边的比叫做相像比。
(二):.相像三角形的判断定理:
1:平行于三角形一边的直线和其余两边(或两边的延伸线)订交,所截成的三角形与原三角形相像。
用数学语言表述以下:
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC
三角形相像的判断方法与全等的判断方法的联系列表以下:
种类
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判断
SAS
SSS
AAS(ASA)
HL
相像三角形
两边对应成
三边对应成
两角对应相
一条直角边
比率且夹角
与斜边对应
的判断
比率
等
相等
成比率
2:两角对应相等的两个三角形相像(此定理用的最多);
用数学语言表述以下:
∵∠A=∠D,∠B=∠E∴△ABD∽△DEF
3:两边对应成比率且夹角相等的两个三角形相像;
用数学语言表述以下:
AB=ACDEDF

∴△ABD∽△DEF
4:三边对应成比率的两个三角形相像;
用数学语言表述以下:
AB=AC=BC∴△ABD∽△DEF
DEDFEF
5:直角边和斜边对应成比率的两个直角三角形相像.
用数学语言表述以下:
∵∠C=∠F=90°AB=AC
DEDF

∴△ABD∽△DEF
6:直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相像
(即:射影定理).
2、相像三角形的基本图形
.平行线型:即A型和X型。
.订交线型
以下图1:若△ABC∽△DCB,则AB2=(此种类比率式最常用)
C
D

D
E
A

A
D

BBC
C
(三):相像三角形的性质
相像三角形的对应角相等,对应边成比率
相像三角形对应高的比、对应中线的比与对应角均分线的比都等于相像比
相像三角形周长的比等于相像比
相像三角形面积的比等于相像比的平方。
5、相像多边形
1)假如两个边数同样的多边形的对应角相等,对应边成比率,那么这两个多边形叫做相像多边形。相像多边形对应边的比叫做相像比(或相像系数)
2)相像多边形的性质
①相像多边形的对应角相等,对应边成比率②相像多边形周长的比、对应付角线的比都等于相像比③相像多边形中的对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比④相像多边形面积的比等于相像比的平方
四、位似图形
1:定义1:假如两个图形不单是相像图形,并且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相像比叫做位似比。
定义2:由一个图形获得它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换能够把一个图形放大或减小
2:性质:每一组对应点和位似中心在同向来线上,到位似中心的距离之比都等于位似比。
初三数学《解直角三角形》知识纲要
(何老师概括)
一:锐角三角函数的观点
1:在△ABC中,∠C=90°锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做
∠A的锐角三角函数
A的对边
a
A的邻边
b
sinA
c
cosA
c
斜边
斜边
A的对边
a
A的邻边
b
tanA
b
cotA
a
A的邻边
A的对边
2:锐角三角函数的取值范围:0≤sinα≤1,0≤cosα≤1,tanα≥0,cotα≥0.
二:锐角三角函数之间的关系
1:平方关系sin2Acos2A
1
2:倒数关系
tanA?cotA=1
3:商关系:
tanA=sinA
cotA=cosA
cosA
sinA
4:互余关系
sinA=cos(90
—°A)=cosB,
cosA=sin(90
—°A)=sinB
tanA=cot(90
—°A)=cotB,
cotA=tan(90
—°A)=tanB
三:特别角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
sinα
0
1
2
3
2
2
2
cosα
1
3
2
1
2
2
2
tanα
0
3
1
3
3
cotα
不存在
3
1
3
3
说明:锐角三角函数的增减性,当角度在
0°~90°之间变化时.
1)正弦值正切值,跟着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
2)余弦值余切值,跟着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
四:解直角三角形的观点:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个
锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出全部未知元素的过程叫做解直角三角形。
实质问题三观点:
(1)俯、仰角.
(2)方向角、象限角
.
(3)坡角、坡度.
北
i
仰角
西
东
α
h
俯角
l
南
i=h/l=tgα
五:增补有关公式
(1)S
1absinC=
1bcsinA=
1acsinB
A
2
2
2
(2)Rt△面积公式:
1
1
ch
x
SVab
2
2
ab
α
(3)结论:直角三角形斜边上的高
β
P
h
Qa
B
c
(4):如右图,
∵在Rt△ABP中,BP=xcotα,在Rt△AQB中,BQ=xcotβ,且BQ—BP=a,
xcotβ-xcotα=a.
六:解直角三角形的知识的应用,能够解决:
丈量物体高度.(2)有关航行问题.
计算坝体或边路的坡度等问题

°
1
0
不存在
0