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江苏省盐城中学徐瑢
一、教学目的
向量是近代数学中重要的根本概念,是中学数学的核心内容,具有工具性的特点,,《高中数学课程标准》的要求,结合学生的认知特点,确定这节课价值取向是强调本质、再现过程、开展思维、,本节课的教学目确实立为:(精品文档请下载)
(1)理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么,掌握向量加法的交换律和结合律,并会简单应用;(精品文档请下载)
(2)经历将实际问题抽象为数学概念的过程,体会数学思维的严谨性和数学的简约美,同时掌握思想方法,开展各种才能;(精品文档请下载)
(3)开展学生的数学应用意识,体验数学文化,丰富学生的学****情感,提升数学素养.
二、学情分析
向量加法是向量运算的起始课,是学生第一次有意识地主动去定义一种全新的数学运算,,他们对数学运算的经历只局限于数或式等这些代数对象上,对运算的理解也仅局限于算法层面,没有经历过自觉地建构数学运算的过程,所以对于向量加法的意义建构和理解,对学生而言无疑是陌生的、,在物理中,学生对力、位移、速度等矢量的合成比较熟悉,
这就有了得到向量加法定义及两个法那么的抽象原型,同时,学生在学****向量的概念和表示》时,已经历过从物理原型抽象出向量概念的过程,这为学生顺利抽象出向量加法的定义和法那么奠定了根底;此外,学生在初中已经学****过数和式的运算律,,老师在课堂教学过程中,应该充分发挥教学智慧,为学生提供熟悉的物理情境,给学生适时的启发、点拨,用问题去引导学生展开对物理模型的抽象,从而探究出向量加法的定义和运算法那么,再引导学生对已经学过的数和式的运算规律加以回忆,类比出向量加法的运算律,并加以验证、熟悉和应用.(精品文档请下载)
三、重点、难点
重点:从实际问题中抽象出数学模型,引导学生归纳出向量加法的定义和运算法那么,培养学生的观察发现、归纳类比、抽象概括才能;(精品文档请下载)
难点:对向量加法法那么本质的理解.
四、教法方法
问题探究式
五、教学过程设计
1问题情境
师:我们知道,数能进展运算,有了运算,从而使得数变化无穷、,我们目前研究的向量—-既有大小又有方向的量,它是否也能进展运算呢?因为向量有着丰富的物理背景,所以我们先来看几个物理现象:(精品文档请下载)
图1
情境1(速度的合成)今年7月,
,河两岸高筑堤坝,某天,巡防队员在南岸巡逻时发现正对岸的堤坝有一处险情,他们立即跳上小船垂直向对岸驶去(如图1),船的静水速度为8,,他们能否准确到达出事地点?为什么?(精品文档请下载)
生:由于受水流的影响,船的实际航向将会偏离,从而不能准确到达.
图2
师:从物理角度怎么解释?
生:船的实际速度应是船静水速度和水流速度的合成.
师:很好,这说明速度和速度之间是可以合成的.
情境2(力的合成)如图2,很熟悉吧,这是苏教版物理必修1第61页的一幅插图,它说明了什么?
生:两个孩子用的力和一个***用的力是等效的,力也是可以合成的.
图3
情境3(位移的合成)如图3,你能读懂这幅画吗?如今仅从位移的角度看,这两种航行方式之间是何关系?(精品文档请下载)
生:从上海到台北有两条途径,这两种航行方式是等效的,即两个位移也是可以合成一个位移的.
师:在物理中,速度、力和位移都是矢量,去掉这些量的物理属性,从数学的角度来看,它们都是向量,两个矢量的合成也就可以抽象成向量和向量之间的一种运算——加法!这就是我们今天要研究的课题.(精品文档请下载)
2自主探究
问题1对于给定的两个向量,我们该如何定义它们的和?前面这些物理原型,给我们什么启发?
师:请大家认真考虑,可互相讨论交流(留足够的时间供学生自主探究).
生:受速度和力的合成的启发,我们可以在平面内任取一点,分别作,以为邻边作平行四边形,那么以为起点的对角线就是向量的和(如图4).(精品文档请下载)
师:这是通过构造平行四边形来操作的,?
生:两个向量要平移至共起点,和向量为以O为起点的对角线.
师:还有其他想法吗?
生:受位移合成的启发,我们还可以在平面内任取一点,作,那么向量叫做向量的和(如图5).
师:这个可称为三角形法那么,在操作中要注意什么?
生:首尾顺次连接.
问题2这两个法那么之间有什么联络?
图4
图5
生:在图4中,只要将向量平移至,平行四边形法那么和三角形法那么就可以互相转化,平行四边形法那么中蕴含了三角形法那么(图形中有两个完全一致的三角形),三角形法那么也可以生成平行四边形法那么.(精品文档请下载)
师:也就是说,这两者是等价的,在本质上是一致的.
问题3假设我们选择其一作为向量和的定义,你愿意选择哪一种呢?为什么?
生:我愿意选择三角形法,因为它显得更简约、更容易操作.
师:好,下面我们就按照这位同学说的把三角形法那么作为两个向量的和的定义,请试着把它的操作过程用文字语言表达出来.(精品文档请下载)
3意义建构
定义:向量、,在平面内任取一点O,作,:,即.
师:由此可知,两个向量的和仍然是一个向量,它的方向可能和原来的两个向量方向都不一样,。显然,,应该根据情况灵敏地选择两个法那么.(精品文档请下载)
练****作出.(黑板上给出三个问题:①两个是不共线的向量;②两个同向共线的向量;③两个反向共线的向量)(精品文档请下载)
追问1:问题③是反向共线,反向共线中有一种非常特殊的情形—-两个相反向量的和什么?该如何求和?
生:两个相反向量,其和是,即,这种情况本质上就是向量的终点又回到起点.
师:请注意,和0有着本质的区别;和任意向量都共线,其和满足:.
追问2:后面的两个小题和拓展说明了什么?
生:共线向量相加时,虽然不能构成三角形,但仍可以用三角形法那么来施行操作.
追问3:共线向量相加时,能否用平行四边形法那么?
生:不能,因为此时不能构成平行四边形,无法确定其对角线,所以无法操作。
师:这进一步说明用三角形法那么来定义向量的加法,不仅简约,而且全面、严谨、,前面提及的物理问题中矢量的合本钱质上都是向量的加法.(精品文档请下载)
问题4以前学****数、字母、式的加法时,它们都满足交换律和结合律,即,.那么向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?假设满足,详细形式是什么呢?(精品文档请下载)
生:应该满足,即交换律:;结合律:。
追问:该如何来验证呢?
生:作图.
师:好,下面我们分组来试一试(学生热情高涨,思维活泼,学生代表积极交流、展示)。
师:研究结果说明:向量的加法也满足交换律和结合律,,,丰富了加法运算的内涵,实现了加法运算的一次质的飞跃.(精品文档请下载)
4数学应用
例1如图6,为正六边形的中心,作出以下向量:
图6
(1);(平行四边形法那么)
(2);(共线向量的和)
(3);
(4);(多个向量的和)
解析:略。
师:更一般地,如图7,这是2021年第30届伦敦奥运会的会徽,如今,它的外围有假设干向量首尾顺次相接,那么所有这些向量的和是什么?这说明什么?请用文字语言来描绘.(精品文档请下载)
图7
生:,即.
师:,这可以看作为向量加法三角形法那么的推广,我们不妨称其为多个向量相加的多边形法那么;进一步,假设再加上一个向量,和向量是什么?(精品文档请下载)
生:,即.
师:请用文字语言来描绘.
生:假设平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,那么这个向量的和为.
师:这里“终点又回到起点",结果是,,生命的意义在于过程,而不是结局.(精品文档请下载)
图8
例2回到情境1.
(1)假设船不改变方向,船的实际航向是什么?(用和水流速度所成角的正切值表示)
(2)假设要使船可以垂直到达对岸,该如何确定其航向?
解析:略.
师:这里的第(2)小题,其本质是知道了两个向量的和向量和其中的一个向量,求另一个向量,这实际上涉及到到了两个向量加法的逆运算,是我们下一节课将要重点研究的问题。(精品文档请下载)
5课堂小结
师:船成功到达此岸的时刻,,在此根底上去研究数学模型,,数学源于生活,又效劳于生活.(精品文档请下载)
马克思说过:一门科学只有在成功地运用数学时,,随着对向量研究的逐步深化,向量作为一种新的数学工具被越来越广泛的应用.(精品文档请下载)
6课后作业
(1)作业:,2,3
(2)拓展探究:请同学们课后完成下面的拓展探究题:向量和的模和模的和之间有什么关系?(是任意两个向量,那么和之间有什么关系?)(精品文档请下载)
可以根据自己感兴趣的话题进展拓展探究.