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导数在研究函数中的应用
了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
在综合应用中特别注意用导数在证明不等式、求参数范围、处理恒成立等问题的工具性作用.
考 点
考纲解读
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导数的综合应用是高考考查的重点内容,主要考查函数的性质, 同时考查导数的相关知识,知识载体主要是三次函数、指数函数、 :(1)利用导数研究函数的单调性、极值 与最值问题;(2)考查以函数为载体的实际应用题,主要是先建立所求 量的目标函数,再利用导数进行求解.(3)函数、导数与不等式等相综 《考纲》预测2013年试题既有基础题,也有综合题,试题难度 中等偏上或偏难.
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(或减函数)的问题,关键是利用导数 将问题转化为函数的导数在此区间上恒为正(或负)的问题,也就是 导函数最值大于(或小于),一定要注意端点值的 讨论.
,一般根据要证明的不等式构造函数, :①将所给的不等式移项 、整理、变形为求证不等式f(x)>0(<0)的形式;②利用导数研究函数 在给定区间上的单调性,得到函数的最值;③将不等式问题转化为函
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数的最值恒大于0或者小于0的问题.
,其具体步骤为:①将方程移项、整 理,转化为方程F(x)=0;②利用导数研究函数y=F(x)图象的变化情况; ③利用数形结合思想研究F(x)与x轴交点的个数,从而得到方程根的 个数.
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(x)的导函数f‘(x)的图象如图所示,
那么函数f(x)的图象最有可能的是 (     )
【解析】由f'(x)的图象知0和-2是f(x)的极值点,且x>0时,f(x)单调递 减,故选A.
【答案】A
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(x)=x3- x2-2x+5,若对于任意x∈[-1,2]都有f(x)<m成立,则实
数m的取值范围为 (     )
(A)(7,+∞).     (B)(8,+∞).
(C)[7,+∞).     (D)(9,+∞).
【解析】f(x)<m恒成立,即为f(x)最大值<m恒成立,f'(x)=3x2-x-2,在[-1,- ]
和[1,2]上,f(x)为增函数,在[- ,1]上,f(x)为减函数,所以f(x)的最大值为f
(2)=7,所以m的取值范围为(7,+∞).
【答案】A
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3.(2011年湖南卷)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于 点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为 (     )
(A)1.     (B) .     (C) .     (D) .
【解析】由题可知|MN|=x2-lnx(x>0),不妨令h(x)=x2-lnx,则h'(x)=2x- ,
令h'(x)=0解得x= ,因x∈(0, )时,h'(x)<0,当x∈( ,+∞)时,h'(x)>0,
所以当x= 时,|MN|= .
【答案】D
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4.(2011年辽宁卷)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是         .
【解析】f(x)=0有零点,等价于a=2x-ex有解,设g(x)=2x-ex,则g'(x)=2-ex. 当x≤ln2时,g(x)单调递增,当x≥ln2时,g(x)单调递减,∴g(x)max=g(ln 2)=2ln2-2,所以,a的取值范围是(-∞,2ln2-2].
【答案】(-∞,2ln2-2]
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导数的综合应用主要包括以下几个方面:
(1)利用导数求参数的取值范围问题;
(2)利用导数研究不等式的证明问题;
(3)利用导数研究函数的零点问题;
(4)利用定积分解决实际问题等.
在复习过程中,,利用导数解决的问题,其 所涉及的函数往往具有明显的特征,例如:三次函数等高次函数、非
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