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(与实函数中二型线积分类比)
§
线积分
复积分
一个复积分的实质是
两个实二型线积分
dz
«
1
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复积分存在的一个充分条件:
复积分的性质:
1线性性:
2
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例题1
(2)C:左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周。
解(1)
3
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例如
例题3
证明:
例如
练****br/>5
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例题4
解:
可见,积分与路径无关仅与起点和终点有关。
6
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§
定理1(Cauchy)
如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,则它在D内任何一条封闭曲线C的积分为零:
注1:。
注2:如果曲线C是D的边界,函数f(z)在D内与C上解析,即在闭区域D+C上解析,甚至f(z)在D内解析,在闭区域D+C上连续,则f(z)在边界上的积分仍然有
推论:如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,C属于D,
与路径无关仅与起点和终点有关。
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可将柯西积分定理推广到多连通域的情况
定理2假设C及C1为任意两条简单闭曲线,C1在C内部,设函数f(z)在C及C1所围的二连域D内解析,在边界上连续,则
证明:取
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。
------闭路变形原理
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推论(复合闭路定理):
(互不包含且互不相交),
所围成的多连通区域,
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例题1
C如图所示:
解:
存在f(z)的解析单连通域D包含曲线C,故积分与路径无关,仅与起点和终点有关。
从而
例题2
C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。
解:
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§
若f(z)在D内解析,则
分析:
.定理(柯西积分公式)如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,则
---解析函数可用复积分表示。
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