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一、单选题
(
)
A. B. C.
,则此三角形第三边的长可能是(

D.
)

已知 ,则的值是( )
A. B.- D.-2
如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB,DE⊥AB于点E,若BC=3,且△BDC的周长为7,则AE的长为
( )

如果一个多边形的内角和是其外角和的3倍,那么,从这个多边形的一个顶点出发画对角线,一共能画出对角线的条数为( )

如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B,下列四个结论正确的个数是( )
①PA=PB
②PO平分∠APB
③OA=OB
④OP垂直平分AB.

二、填空题

(nm)也叫毫微米,是非常小的长度单位,15nm=
为 .

中隐含着x的取值应该满足的条件是: .
因式分解: .
如图,D、E、F分别为BC、AD、△ABC=8cm2,则S△DEF= .
等腰三角形的一个内角是 ,则它的顶角度数是 .
如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A、B为圆心,大于 AB的长为半径画弧,两弧相交
于M、N两点;②=AC,∠B=25°,则∠BAC= .
,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将其折叠,使点A落在边CB上
BC=8,AC=6,则的周长为 .
处,=10,
,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是边AC的中
△ECF的周长取得最小值时,∠EFC的度数为 .
三、解答题
:
.
:
.

(1)请在直角坐标系中画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)点A1的坐标是: .
点B1的坐标是: .
点C1的坐标是: .
,AB=DE,AC=DF,BE=:AC∥DF.
,再求值:
,其中
.
,如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证:AD垂直平分
EF。
,在方格纸中,△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上,请以A,B,
C,D,E中的三个点为顶点画三角形:
在图甲中画出一个三角形,使之与△PQR全等;
在图乙中画出一个三角形,使之与△PQR面积相等但不全等.
直接写出△PQR的面积等于 .
,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,过点C作CD⊥OC,交OB于点D,
,交OB于点E.
(1)若OD=7,求CD的长;
(2)试判定△ECD的形状.
,已知BN平分∠ABC,P为BN上的一点,PF⊥BC于F,PA=PC.
(1)求证:∠PCB+∠BAP=180°;
(2)线段BF、BC、AB之间有怎样的数量关系?请直接写出你探究的结论: .
,一部分同学骑自行车先走,过了25分钟
后,其余同学乘汽车出发,,求汽车的
平均速度.
:在中,
(不含端点A、B),连接
,
,过点C作
于点D,点E是边上一动点
,过点B作的垂线交直线于点F,交直线于点G(如图①).
求证: ;
若点E运动到线段
上时(如图②),试猜想、
的数量关系是否发生变化,请直接写出你
的结论;
(3)过点A作垂直于直线 ,垂足为点H,并交的延长线于点M(如图③),找出图中与
相等的线段,并证明.
(1),AB=4 ,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 .点P在线段AB上以1
度由点A向点B运动,同时,(s).
的速
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当
=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理
由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”, ,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法
【解析】【解答】解: 故A,B不符合题意;故C不符合题意;
故D符合题意;
故答案为:D
【分析】利用同底数幂的乘法和同底数幂的除法逐项判断即可。
2.【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解:设第三边长为x,则有
7-3<x<7+3,
即4<x<10,
观察只有C选项符合,
故答案为:C.
【分析】先根据三角形是三边关系确定第三边的取值范围,然后根据选项数据进行判断即可.
3.【答案】D
【知识点】代数式求值;等式的性质
【解析】【解答】解:∵
∴2(b-a)=ab
∴ab=-2(a-b)
∴
故答案为:D
【分析】利用等式的性质,将已知方程转化为ab=-2(a-b),再整体代入求值。
4.【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵△BDC的周长为7,
∴BD+BC+CD=7,
又∵BC=3,
∴BD+CD=4,
∵AD=BD,DE⊥AB,
∴BD+CD=AD+CD=AC=4,AB=2AE,
∵AB=AC,
∴AB=4,
∴AE=2,
故答案为:A.
【分析】根据△BDC的周长为7,可得BD+BC+CD=7,再结合BC=3求出BD+CD=4,即可得到AB=AC=4,
再结合AB=2AE,可得AE=2。
5.【答案】B
【知识点】多边形的对角线;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:设这个多边形为n边形,则
即 ,
解得: ,
所以从这个多边形的一个顶点出发共有
,
条对角线,
故答案为:B.
【分析】设这个多边形为n边形,则
,求出n的值,再根据多边形的对角线的个数与
边数的关系可得答案。
6.【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质;直角三角形全等的判定(HL)
【解析】【解答】解:∵OP平分∠AOB,PA⊥OA于A,PB⊥OB于B,
∴PA=PB,故①符合题意;
在Rt△PAO和Rt△PBO中,
,
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL),
∴OA=OB,∠OPA=∠OPB,故②③符合题意;
∵OA=OB,AP=BP,
∴OP是AB的垂直平分线,故④符合题意;
故答案为:D.
【分析】先利用“HL”证明Rt△PAO≌Rt△PBO,再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
7.【答案】×10-8
【知识点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解:
;
故答案为:
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
8.【答案】x≠0且x≠1
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解:分式
存在,需满足分母不为零,即
解得
故答案:
.
【分析】根据分式有意义的条件可得
,再求出
即可。
9.【答案】
【知识点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解:原式=
=
=
故答案为:
【分析】将代数式
变形为
,再利用完全平方公式因式分解即可。
10.【答案】1cm2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形的面积
【解析】【解答】解:∵S△ABC=8cm2,D为BC的中点,
∴S△ABD=S△ADC= S△ABC=
×8=4(cm2),
∵E为AD的中点,
∴S△DEC= S△ADC=
×4=2(cm2),
∵F为EC的中点,
∴S△DEF= S△DEC=
×2=1(cm2),
故答案为:A.
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可。
11.【答案】20度或80度
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:当80°是等腰三角形的顶角时,则顶角就是80°;
当80°是等腰三角形的底角时,则顶角是180°−80°×2=20°.
故答案为:80°或20°.
【分析】先分情况讨论:80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角,再根据三角形的内角和定理进
行计算.
12.【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理;三角形的外角性质;线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解:由作图得MN垂直平分AB,
∴DA=DB,
∴∠DAB=∠B=25°,
∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°,
∵AD=AC,
∴∠C=∠CDA=50°.
∴
故答案为:105°.
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠DAB=∠B=25°,再利用三角形的外角可得∠CDA=∠DAB+∠B=50°,根
据等边对等角的性质可得∠C=∠CDA=50°,最后利用三角形的内角和求出∠BAC的度数即可。
13.【答案】12
【知识点】翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,AC=6,
∵将其折叠,使点A落在边CB上处,折痕为CD,
∴ ,
∴ 的周长为故答案为12.
【分析】根据折叠的性质可得
,再利用三角形的周长公式及等
量代换可得答案。
14.【答案】60°
【知识点】等边三角形的性质;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:过E作 ,交AD于N,
∴
∵等边三角形ABC的边长为4,E是边AC的中点.
∴AC=AB=BC=4,AE=2,
∴EC=2=AE, 为等边三角形,
∴AM=BM=2,
∴AM=AE,
∵AD是BC边上的中线,△ABC是等边三角形,
∴AD⊥BC,
∵ ,
∴AD⊥EM,
∵AM=AE,
∴E和M关于AD对称,
连接CM交AD于F,连接EF,
则此时EF+CF的值最小,
的周长最小,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC=AB,
∵AM=BM,
∴∠ECF= ∠ACB=30°,
.
∴
由轴对称的性质可得:
∴
故答案为:
【分析】过E作
,交AD于N,先证明E和M关于AD对称,连接CM交AD于F,连接EF,
则此时EF+CF的值最小,
的周长最小,再求解即可。
15.【答案】解:原式
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】利用多项式乘多项式的计算方法求解即可。
16.【答案】解:方程的两边同乘(x﹣1)(x+1),得
2(x+1)=4,
解得:x=1.
检验:把x=1代入(x﹣1)(x+1)=0.
∴x=1是方程的增根,原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】观察可得最简公分母是(x﹣1)(x+1),方程两边同乘最简公分母,可以把分式方程转化为整
.
17.【答案】(1)解:先作出点A、B、C关于y轴的对称点
、、 ,然后顺次连接,则△A1B1C1即为所
求,如图所示:
(2)(-1,3);(-4,-2);(-5,3)
【知识点】点的坐标;作图﹣轴对称
【解析】【分析】(1)根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对称点,再连接即可;
(2)根据平面直角坐标系直接写出点A1、B1、C1的坐标即可。
18.【答案】证明:∵BE=CF,BE+CE=CF+EC,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
.
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠ACB=∠DFE(全等三角形的对应角相等),
∴AC∥DF(同位角相等,两直线平行).
【知识点】平行线的判定;三角形全等的判定(SSS)
【解析】【分析】利用“SSS”证明△ABC≌△DEF,根据全等三角形的性质可得∠ACB=∠DFE,再利用平行线的
判定方法可得AC//DF。
19.【答案】解:原式
,
将
代入得:原式
.
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简,再将m的值代入计算即可。
20.【答案】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD,又∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2,
DE=DF,∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,∴点A在EF的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在
线段的垂直平分线上),∵DE=DF,∴点D在EF的垂直平分线上,∴AD垂直平分EF.
【知识点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;线段垂直平分线的判定;角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线定义和角平分线的性质得出∠1=∠2,DE=DF,再由垂直的定义得出
∠AED=∠AFD,再根据AAS得出△AED≌△AFD,由全等三角形的性质得出AE=AF,再根据垂直平分线的判
定得出点A、E在EF的垂直平分线上;从而得出AD垂直平分EF.
21.【答案】(1)解:如图所示,
(2)解:如图所示,
(3)6
【知识点】三角形的面积;三角形全等的判定;作图-三角形
【解析】【解答】解:(3)△PQR面积是: ×QR×PQ= ×3×4=:6.
【分析】(1)根据全等三角形的判定方法求解即可;
根据三角形的面积公式及三角形的定义作图即可;
利用三角形的面积公式求解即可。
22.【答案】(1)解:如图,
∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,
∴∠1=30°,
∵CD⊥OC,
∴△OCD是直角三角形,而
∴CD= OD= .
(2)解:如图,
在Rt△OCD中,∠2=90°-∠1=60°.
∵ ,
∴∠3=∠AOB=60°.
在△ECD中,∵∠2=∠3=60°,∠4=180°-∠2-∠3=60°,
∴△ECD是等边三角形.
【知识点】平行线的性质;等边三角形的判定;含30°角的直角三角形;角平分线的定义
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠1=30°,再利用含30°角的直角三角形的性质求出CD= OD=
即可;
(2)先求出∠3=∠AOB=60°,再结合∠2=∠3=60°,∠4=180°-∠2-∠3=60°,即可得到△ECD是等边三角形。
23.【答案】(1)证明:作PD⊥AB于点D,
∵BN平分∠ABC,PF⊥BC,∴PD=∵PA=PC,∴Rt△ADP≌Rt△CFP(HL),∴∠1=∠BAP,
∵∠PCB+∠1=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°;
(2)2BF=AB+BC
【知识点】直角三角形全等的判定(HL);角平分线的性质
【解析】【解答】解:(2)2BF=AB+(1)知:Rt△ADP≌Rt△CFP,PD=PF,∴AD=CF,∵BP=BP,
∴Rt△BPD≌Rt△BPF(HL),∴BD=BF,∴2BF=BD+BF=AB-AD+BC+CF=AB+BC,∴2BF=AB+
为:2BF=AB+BC.
【分析】(1)作PD⊥AB于点D,根据角平分线的性质可得PD=PF,再利用“HL”证明Rt△ADP≌Rt△CFP,
可得∠1=∠BAP,再利用角的运算和等量代换可得∠PCB+∠BAP=180°;
(2)先证明Rt△BPD≌Rt△BPF可得BD=BF,再利用线段的和差及等量代换可得2BF=AB+BC。
24.【答案】解:设骑车同学平均速度是x千米/时,则汽车的平均速度是2x千米/时.
依题意, ,
解得x=12.
经检验,x=12是原方程的解.
∴2x=24.
答:汽车的平均速度是24千米/时.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设骑车同学平均速度是x千米/时,则汽车的平均速度是2x千米/时,根据题意列出方程
,再求解即可。
25.【答案】(1)证明:∵AC=BC,
∴∠ABC=∠A.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,
∴∠CBF+∠BCE=90°,
∴∠ACE=∠CBF
∵在Rt△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
∴△BCG≌△ACE(ASA),
∴AE=CG;
(2)不变
(3)解:BE=CM,
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠CAB=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵AH⊥CE,
∴∠AHC=90°,
∴∠HAC+∠ACE=90°,
∴∠BCE=∠HAC.
∵在Rt△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠ACD=∠ABC.
在△BCE和△CAM中
∴△BCE≌△CAM(ASA),
∴BE=CM.
【知识点】三角形全等的判定(ASA)
【解析】【解答】解:(2)=CG.
理由:∵AC=BC,
∴∠ABC=∠A.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC=∠A=45°,∠ACE+∠BCE=90°.
∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,
∴∠CBF+∠BCE=90°,
∴∠ACE=∠CBF
∵在Rt△ABC中,CD⊥AB,AC=BC,
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD.
在△BCG和△ACE中
∴△BCG≌△ACE(ASA),
∴AE=CG;
【分析】(1)利用“ASA”证明△BCG≌△ACE,再利用全等三角形的性质可得AE=CG;
(2)方法同(1),利用“ASA”证明△BCG≌△ACE,再利用全等三角形的性质可得AE=CG;
(3)利用“ASA”证明△BCE≌△CAM,再利用全等三角形的性质可得BE=CM。
26.【答案】(1)解:当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,
又∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.
∴∠CPQ=90°,
即线段PC与线段PQ垂直;
(2)解:①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,
解得
;
②若△ACP≌△BQP,
则AC=BQ,AP=BP,
解得:
综上所述,存在
或
使得△ACP与△BPQ全等.
【知识点】三角形全等及其性质;直角三角形的性质
【解析】【分析】(1)在t=1的条件下,找出条件判定△ACP和△BPQ全等,再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质,可证∠CPQ=90°,即可判断线段PC和线段PQ的位置关系;
(2)本题主要在动点的条件下,分①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP两种情况讨论,利用三角形全等时对应边相等的性质进行解答即可.