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一、微分方程稳定性理论简介
1、一阶微分方程的平衡点及其稳定性
右端不显含自变量t,称为一阶非线性(自治)方程
设有微分方程
的实根表示微分方程的平衡点(或奇点)它也是自治方程的解(奇解)
代数方程
不求x(t),判断x0稳定性的方法称为直接法
如果存在某个邻域,使自治方程的解x(t),从这个邻域内的某个x出发,满足
称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐近稳定),否则x0是不稳定的(不渐近稳定)
上述这种判断x0稳定性的方法称为间接法
两个方程在点都是稳定的
两个方程在点都是不稳定的
关于点稳定性有以下的结论
2、二阶方程的平衡点及其稳定性
右端不显含t,是自治方程。
二阶方程可以用两个一阶方程表示为
(5)
代数方程组
的实根称为方程(5)的平衡点,记作
(6)
系数矩阵记作
(8)
为了用直接法讨论方程(5)的平衡点的稳定性,先看线性常系数方程
为了研究(8)的唯一平衡点P0(0,0)的稳定性,假设A的行列式不等于0。(0,0)点的稳定性由(8)的特征根决定,(8)的特征方程为
(9)
方程(8)的一般解具有形式
所以当特征根为负数或有负实部时(0,0)是稳定平衡点;而当特征根为正数或有正实部时是不稳定平衡点;特征根不可能是0。
微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型,完全由特征根或相应的p,q取值决定(见表)
以上是对线性方程的平衡点(0,0)稳定性的结论,对于一般的非线性方程(5),可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性。在该点将方程右端作Taylor展开,得近似线性方程
(10)