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虚数单位i:
它的平方等于-1,即 i2 1
i与-1的关系:i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根
是-i
3.
i的周期性:i4n+1=i,
i4n+2=-1,i4n+3=-i,
i4n=1
:形如a
bi(a,b
R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部全体复数所成
的集合叫做复数集,用字母
C表示
复数通常用字母z表示,即z
abi(a,bR)
5.
复数与实数、虚数、纯虚数及
0
的关系:对于复数
a
bi(a,b
R),当且仅当b
时,复数abi
(
a、
=0
+
b∈
R)
是实数a;当b≠
0
时,复数zabi叫做虚数;当
a
=0
且b≠
0
时,zbi叫做纯虚数;a≠
0
且b
=+
=
zbi叫做非纯虚数的纯虚数;当且仅当
ab
时,z就是实数
0.
≠0时,=
==0
复数集与其它数集之间的关系:NZQRC.
两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等
如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小 .如果两个复数都是实数,就可以比较
大小当两个复数不全是实数时不能比较大小
复平面、实轴、虚轴:
点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系
来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
1)实轴上的点都表示实数
2)虚轴上的点都表示纯虚数
(3)原点对应的有序实数对为 (0,0)
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,
:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
复数z1与z2的减法运算律:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数z1与z2的乘法运算律:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
11.
复数z1与z2的除法运算律:z1÷z2
=(
abi
÷cdi
ac
bd
bc
ad
i
(分母实数化)
+)
(+
)=c2
d2
c2
d2
12.
共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数
虚部不等
于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数z的共轭复数为z。例如z=3+5i与z=3-5i
互为共轭复数
共轭复数的性质
(1)实数的共轭复数仍然是它本身
2
2
(2)ZZZ
Z
(3)两个共轭复数对应的点关于实轴对称
: 15
复数Z a bia,b R
一一对应一一对应
点Z(a,b)
uuur
向量OZ
一一对应
复数的模:
复数Z a bi的模Z a2 b2

几个常用结论
(1)
2
,
2
2i(2)1i
2i
1i
1
i,
1
i
(3)
(4)
i
i
1
i
(5)1
i
i
1
i
(6)abiabia2
b2
2009-2014年高考文科数学试题分类汇编——复数
2
2
2.(2009浙江卷文)设
z=1+i(i是虚数单位),则z
+z=(
)
(A)1+i
(B)-1+i
(C)1-i
(D)-1-i
3.(2009山东卷文)复数
3-i
)
等于(
1-i
(A)1+2i
(B)1-2i
(C)2+i
(D)2-i
4.(2009安徽卷文)i是虚数单位,i(1+i)等于(
)
(A)1+i
(B)-1-i
(C)1-i
(D)-1+i
5.(2009天津卷文)i
5i
是虚数单位,2-i
=(
)
(A)1+2i
(B)-1-2i
(C)1-2i
(D)-1+2i
6.(2009
宁夏海南卷文)复数
3+2i
=(
)
2-3i
(A)1
(B)-1
(C)i
(D)-i
7.(2009
辽宁卷文)已知复数
z=1-2i,那么
1=(
)
z
5
2
5
5
2
5
1
2
1
2
(A)5+
5i
(B)5-5i
(C)5+5i
(D)5-5i
2
8.(2010湖南文数
1)复数1-i
等于(
)
(A)1+i
(B)1-i
(C)-1+i
(D)-1-i
10.(2010全国卷
2理数)复数(
3-i
2
1+i
)
=(
)
(A)-3-4i
(B)-3+4i
(C)3-4i
(D)3+4i
i
11.(2010
陕西文数)复数z=1+i
在复平面上对应的点位于(
)
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
1+2i
12.(2010
辽宁理数(2))设a,b为实数,若复数a+bi
=1+i,则(
)
3
1
(A)a=2,b=2
(B)a=3,b=1
1
3
(C)a=2,b=2
(D)a=1,b=3
16.(2010
a+2i
=b+i(a,b?R),其中i为虚数单位,则
a+b=(
)
山东文数)已知
i
(A)-1
(B)1
(C)2
(D)3
(2010北京文数(2))在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则
点C对应的复数是(
)
(A)4+8i
(B)8+2i
(C)2+4i
(D)4+i
18.(2010
四川理数(1))i是虚数单位,计算
i+i2+i
3=(
)
(A)-1
(B)1
(C)-i
(D)i
19.(2010
天津文数)i
3+i
是虚数单位,复数
1-i=(
)
(A)1+2i
(B)2+4i
(C)-1-2i
(D)2-i
1+3i
20.(2010
天津理数)i
是虚数单位,复数
1+2i
=(
)
(A)1+i
(B)5+5i
(C)-5-5i
(D)-1-i
21.(2010
广东理数)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=(
)
(A)4+2i
(B)2+i
(C)2+2i
(D)3
22.(2010
福建文数)i
1+i
4
是虚数单位,
(1-i
)
等于(
)
(A)i
(B)-i
(C)1
(D)-1
3+2i
23.
(2010全国卷1理数(1))复数2-3i
=(
)
(A)i
(B)-i
(C)12-13i
(D)12+13i
24.
(2010
山东理)已知a+2i
=
+i(,
b
∈R),其中i为虚数单位,则
a
+
=(
)
i
b
a
b
(A)-1
(B)1
(C)2
(D)3
26.
i-2
=(
)
(2011年北京理)复数
2i
1+
(A)i
(B)-i
(C)-4-3i
(D)-4+3i
5
5
5
5
29.
(2011
年安徽理(1))设i
是虚数单位,复数
1+ai
a为(
)
为纯虚数,则实数
2-i
1
1
(A)2
(B)-2
(C)-2
(D)2
30.
(2011
年福建文)i是虚数单位,1+i
3等于(
)
(A)i
(B)-i
(C)1+i
(D)1-i
31.
(2011
年广东理
1)设复数
z
满足(1+i
)
=2,其中i
为虚数单位,则
=(
)
z
Z
(A)1+i
(B)1-i
(C)2+2i
(D)2-2i
32.
(2011
年广东文
1)设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则
z=(
)
(A)-i
(B)i
(C)-1
(D)1
33.
(2011
年湖北理
1)i为虚数单位,则(
1+i
)2011=(
)
1-i
(A)-i
(B)-1
(C)i
(D)1
55.
【2012
湖南文2】复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是(
)
(A)-1-i
(B)-1+i
(C)1-i
(D)1+i
62.(2013年北京卷(文))在复平面内,复数
i(2-i)对应的点位于(
)
A)第一象限(B)第二象限
C)第三象限(D)第四象限
67.(2013年江西卷)复数

z=i(-2-i

)(i

为虚数单位)在复平面内所对应的点在(

)
(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限