文档介绍：兄弟连心其利断金
摘要:利用奇偶性求解析式中的参数;综合应用单调性、奇偶性比较函数值的大小;应用单调性、奇偶性解不等式。
关键词:函数的单调性;奇偶性
中图分类号:TB112文献标识码:A文章编号:1673-0992(2010)04-162-01
函数的性质在解决函数问题中起着重的作用。本文浅述函数单调性、奇偶性的应用。
一、利用奇偶性求解析式中的参数
例1 :已知 f(x)=aχ2+bx+3a+b 是定义在[a-1 ,2a ]上的偶函数,则 a+b=________________ 解:由偶函数的定义域关于原点对称,则 a-1=-2a ,得a=;1/3
又由 f(―x)=f(x),
得 ax2-bx+3a+b= ax2+bx+3a+b,
所以 b=0 。
故 a+b=.
点评:偶函数的定义域关于原点对称,并满足f(―x)=f(x ),这是解决此题的理论依据.
二、综合应用单调性、奇偶性比较函数值的大小
例2 : 定义在区间(―,)上的奇函数f(x) 为单调增函数,若偶函数g(x) 在区间[0,+ )上的图像与 f(x)的图像重合,设a>b>0,则 f(b)-f(-a)与g(b)-g(-a)的大小关系为_________________. 解:由题意,画出 f(x),g(x)的图像的示意图,如图:
由图像,显然有f(b)-f(-a) > g(b)-g(-a) 。
点评:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y轴对称,这在函数的积偶性中是典型的性质,需要特别注意,如果奇函数f(x ) 在x=0 处有定义,则f(0)=0。
三、综合应用单调性、奇偶性解不等式
例3 :已知函数f(x) 是定义在区间[-1,1]上的单调函数,且 f(x-1)<f(x2-1),求 x 的取值范围。
解:因为函数f(x) 是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(x2-1),根据函数单调性的定义,得
-1≤x-1≤1,
1-≤x-1≤1 ,
x-1< x-1,
解得1<x≤
故所求x 的取值范围是(1, ]。
点评:本题是在已知函数单调性的情况下,求自变量的取值范围,在紧扣定义的同时应关注函数的定义域。
例4设定义在[-2 ,2] 上的偶函数f(x) 在区间[0,2] 是单调减函数,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围。
解:因为函数f(x)是偶函数
所以f(-x)=f(x)=f(|χ|)。
所以不等式f(1-m)<f(m),即f(|1-m|)<f(|m|)。
又f(x)在区间[0,2]上是单调减函数,
所以
|1-m|>|m| ,
-2≤1-m≤2, 解得:-1≤m<
-2≤m≤2,
所以实数的取值范围为[-1,) 。
点评:本题中,根据函数的定义域,应有 1-m